第4讲奇妙的方格表

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1、第四讲 奇妙的方格表方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题许多问题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到。一、计数问题例 1 下图中共有多少个矩形？分析 如果直接数，很容易遗漏或者重复为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后再相加在分类计数中如果能发现规律，那就更简单了。解法 1：在已知的方格表中， “”共有 53=15 个， “”共有43=12 个， “”共有 339 个，如此进行下去，把各类矩形的个数相加，可得矩形总

2、数为 90 个。解法 2：将各类矩形列出表来（如下页图） ，分析各类矩形个数的算式，很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：（12+34+5）（321）=90 个。例 2 在上页的方格表中，共有几个 形（含有 3 个小方格的拐，也可以是 或 或 ）？分析 不妨称 形为 L 形。容易看出，在每个由 4 个小方格组成的正方形中都含有 4 个 L 形因此为了求 L 形的个数，只需先求“田”字形的个数。解：在上页的方格表的第 1、2 行中含有“田”字形 4 个，第 2、3 行中也含 4 个，共有“田”字形 8 个，每个“田”字形对应 4 个 L 形，因此共有 L 形 48=32 个。说明：计数最基本的方

3、法是分类讨论如果在分类讨论中发现规律，就可以改进算法例 2 中的计数方法利用了对应的思想。当直接计算某一事物的个数有困难时，往往可以先转化成计算另一事物的个数，然后再研究这两种事物之间的对应关系，例如在 35 的方格表中计算 形的个数，可以先计算 23 的矩形共有多少个，然后由每个 23 的矩形中都含有 4 个 形，于是就能算出 形的总个数，共有104=40 个。在例 1 中计算矩形个数还有一些更高明的方法，这些方法将在中学里学到。例 3 在 44 的方格表中，至少放上几个 后，才能使这一表中不能再放下一个 了（不许重叠）？如果是 66 或 88 的方格表，结果如何？解：如图，在 44 的方格

4、表中放下 3 个 L 形，即不能再放下一个 L形了。如果只放了两个 L 形，那么可以证明总还能再放下一个 L 形因为每个“田”字形内至少盖住两格后才不再能放下 L 形，而 44 的方格表中共有 4 个不相重叠的“田”字形，至少应盖住 24=8 格后，才不再能放一个 L 形，如果只放了两个 L 形，仅仅盖住 6 格，所以总还能再放一个 L形。从以上两步，可以看出 44 的方格表中至少放上 3 个 L 形后，才能使这一表中不再能放下一个 L 形。在 66 的方格表中有 9 个不相重叠的“田”字形，每个“田”字形至少盖住两格，才不再能放下一个 L 形，这样至少应盖住 18 格，也就是至少要放上 6

5、个 L 形如右图，已放了 6 个 L 形，确实已不能再放下一个L 形了，因此 6 个是最少的数目。用同样的方法可以得到在 88 的方格表中至少放上 11 个 L 形后，就不再能放下一个 L 形了。二、染色方法染色方法实际上是一种分类方法，不过对有些问题来说，通过染色能使问题比较直观，解决起来更方便。例 4 如图是半张象棋盘，一只马能否从 A 处出发，跳遍半张象棋盘而使每个格点只经过一次？解：把半张象棋盘的格点（共 45 个）相间地涂上黑、白两色（黑色用“”表示，如图共有 22 个黑点，23 个白点按照马走步的规则，每步走“日”字的对角线，不论马在何处也不论往哪个方向跳，起点和终点的颜色总是不同

6、的由于 A 处是黑格点，如果马从 A 处出发跳遍每个格点且每个格点只经过一次，那么需经过 21 个黑点，23 个白点，黑、白格点数相差 2，故这样的走法是不可能的。例 5 正方体形的房子共分 27 个小房间，每相邻两个房间都有门相通（上、下两间也有门相通） 每个房间里都有一块奶酪，右下角的房间有一门通向外面一只耗子从最中间的房间出发，想走遍各个房间，且每个房间只经过一次，最后从右下角出来，这样是可否能？如果可能，该怎么走？解：将 27 个小正方体相间染成黑、白两色（如图） ，共 13 个房黑间，14 个白房间，中间房间是黑色如果从中间房间出发，每个房间经过一次，共需经过 12 个黑房间（除中间

7、房间外） 、14 个白房间但是与黑房间相邻的都是白房间，与白房间相邻的都是黑房间，路线只能是：黑白黑白这是不可能实现的如果改从任一个（不是右下角的）白房间出发，就能达到目的请自己设计路线。三、抽屉原理例 6 能否在 88 的方格表的每个方格中写上 0、1、2 中的一个数，使每行、每列以及两条对角线上各数之和都互不相等？解：8 行、8 列及两条对角线共有 18 个和数，将这 18 个和数作为“苹果” 8 个数（每个数是 0、1、2 中的一个）的和最小是 0，最大是16，共有 17 种不同的和，将这 17 个不同的和作为“抽屉” 根据抽屉原理，必有一个“抽屉”中存在 2 个或 2 个以上的“苹果”

8、 ，这就是说，在18 个和数中至少有 2 个相等，不可能都互不相等。例 7 在 55 的方格表中，任意挖去一个方格后，是否总能用 8 个形完全盖住？如果不能，请说明理由。解法 1：如图 1，将 55 的方格表挖去一格（阴影）后，剩下的 24格不可能用 8 个 形完全盖住。因为如果完全盖住，为了盖住 a 格，需要用一个 L 形盖住 a、d、e 或 a、b、c 三格，由于两边对称，不妨设盖住 a、b、c 三格，这样， x 格就不可能被任何一个 L 形盖住（否则就重叠了） ，所以这 24 格不可能被完全盖住。解法 2：如图 2，标上“”的格共有 9 个，如果挖去的一格不是标上“”的格，那么剩下的 2

9、4 格不可能被 8 个 L 形盖住。这是因为任意两个“”格不可能被同一个 L 形盖住，这 9 个“”格若都能被盖住，至少需要 9 个 L 形，因此不能用 8 个 L 形盖住剩下的 24 格。说明：解法 1 虽然很简单，但要想到这种解法，需要做多次试验（当挖去的一格在某些位置时，题目的要求是可以成立的） 解法 2 实际上用了抽屉原理， “”格看作“苹果” ，8 个 L 形看成“抽屉” 用抽屉原理的关键是要设计好“抽屉”和“苹果” 。四、分类、试验、递推、寻求规律例 8 在 44 的方格表中任意挖去一格，是否总能用 5 个 形盖住？对于 88 或 1616 的方格表，结论如何？分析 对于 44 的

10、方格表，由挖去一格的位置不同，可分三种情况讨论这种分类讨论的方法，对于 44 的方格表来说，由于试验次数较少，还比较容易得到结论但对于 88 的方格表，需要分 10 种情况，分别去试验；对于 1616 的方格表，则需要分 36 种情况对于每种情况，由于表格较大，试验起来也很繁琐如果运用数学上称为“递推”的方法，问题就简单得多了，不仅能轻易地解决 88、1616 的方格表的问题，还能解决 3232、6464、等方格表中的类似问题。解法 1：对于 44 的方格表，由挖去一格的不同位置，可分三种情况，每种情况都能运用 5 个 L 形盖住，因此在 44 的方格表中任意挖去一格，总能用 5 个 L 形盖

11、住（如下图） 。对于 88 及 1616 的方格表，由于分类情况较多，这里从略。解法 2：先考虑 22 的方格表，任意挖去一格，剩下 3 格总是恰好能用 1 个 L 形盖住。对于 44 的方格表，挖去的一格总在某个角上的 22 小方格表内，不妨设在左上角，那么左上角的 22 小方格表中剩下 3 格能用 1 个 L 形盖住在右上、右下、左下的 3 个 22 方格表中，先各挖去靠中间的一格（如下左图） ，剩下的各能用 1 个 L 形盖住，而挖去的 3 格也恰能用 1个 L 形盖住。对于 88 的方格表，挖去的一格总在某个角上的 44 方格表内，不妨设在左上角，那么左上角剩下的部分总能用 5 个 L

12、 形盖住在右上、右下、左下的 3 个 44 方格表中，先各挖去靠中央的一格（如上右图） ，由上述结论，各 44 方格表中剩下部分总能分别用 5 个 L 形盖住而挖去的 3 格也恰能用 1 个 L 形盖住，所以，88 方格表中任意挖去一格，总能用 21 个 L 形完全盖住。同样，对于 1616 的方格表，任意挖去一格后，总可以用 85 个 L 形完全盖住。例 9 在一个 66 的方格表中，任选 5 个方格涂黑，然后再逐步将凡是与两个或两个以上黑格相邻的方格涂黑，不断按这个法则做下去，证明：无论怎样选择最初的 5 个方格，都不可能按这样的法则将所有方格全部涂黑。 分析 先试验一下，在上图的方格表中

13、选 5 格涂黑，然后按给定法则涂黑另一些格，直到上图（4） ，已无法再将其余的方格涂黑如果改变最初 5 格的位置，虽然最后涂黑的部分会不同，但都不能将所有方格全部涂黑为了证明这一结论，如果将最初 5 格的不同位置一一列举出来，再逐个证明，当然也是可以的（这种方法叫枚举法） ，不过过于繁琐因此，应该在试验中寻求规律，不被表面现象迷惑。证明：考虑涂黑过程中黑色区域的周界总长度设小方格的边长为1，则开始有 5 个黑格，黑色区域总长度不大于 20按照题设的涂黑法则，每格在涂黑前后，黑色区域的周界不会变长（此方格至少有两边是原来黑色区域的周界，当此格涂黑后，这两边已不再是边界，而另两边可能成为边界） 如

14、果能将所有方格都涂黑，那么黑色边界的总长度应为 24，由以上分析，这是不可能的，因此，无论怎样选择最初的 5 个方格，都不可能按照题设的法则将全部方格涂黑。习 题 四1在 35 的方格表中共有多少个正方形？共有多少个形？2在例 5 中，是否从任意一个（不是右下角的）白房间出发，都能走遍各个房间后从右下角出来？3在例 7 中，如果挖去一个“”格，剩下的方格表是否总能用 8个 L 形完全盖住？4在 44 的方格表中的任意 5 个格中各放一枚棋子，是否总可选出 2 行 2 列，使这 5 个棋子都在这 2 行 2 列中？如果放 6 个棋子（每个棋子占一格） ，结果如何？放 7 个棋子，结果如何？在 66 的方格表中最多放几个棋子（每个棋子占一格） ，不论如何放，使得总能选出 3 行 3 列，使这些棋子都在这 3 行 3 列中？5在 44 的方格表中除一格写上“”外，其余都写上“+” 现允许任选一行，或一列，或一条平行于对角线的斜线（特殊情况，可以是角上一格，或整条对角线） ，将它们每格中符号变成相反的不断施行这种变换，是否能使整个方格表的所有格内都是“+”号？若改为 55 的方格表，结论如何？