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1、第五章 线性参数的最小二乘法处理,主要内容 第一节 最小二乘原理 最小二乘原理 等精度测量线性参数的最小二乘原理 不等精度测量线性参数的最小二乘原理 第二节 正规方程 线性参数的最小二乘处理的正规方程 非线性参数的最小二乘处理的正规方程 最小二乘原理和算术平均值原理的关系 第三节 精度估计 测量数据的精度估计 最小二乘估计量的精度估计 第四节 组合测量的最小二乘法处理,第一节 最小二乘原理,一、引入,待测量（难以直接测量）：,直接测量量：,问题：如何根据 和测量方程解得待测 量的估计值 ？,直接求得 。,有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 。,第一节 最小二乘原理,讨论：,
2、最小二乘原理：,最可信赖值应使残余误差平方和最小。,第一节 最小二乘原理,二、最小二乘原理,设直接测量量 的估计值为 ， 则有,由此得测量数据 的残余误差,残差方程式,第一节 最小二乘原理,由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率 为,若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为,第一节 最小二乘原理,测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有,最小,由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表 示为,最小,等精度测量的最小二乘原理：,最小,不等精度测量的最小二乘原理：,第一节 最小二
3、乘原理,最小,最小二乘原理（其他分布也适用）：,测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。,第一节 最小二乘原理,三、等精度测量的线性参数最小二乘原理,线性参数的测量方程和相应的估计量为：,残差方程为,第一节 最小二乘原理,令,则残差方程的矩阵表达式为,等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,第一节 最小二乘原理,思路一：,权矩阵,四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理,第一节 最小二乘原理,思路二：不等精度 等精度,则有：,第二节 正规方程,正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确 定解的代数方程组,一、等精度测量线性参数最
4、小二乘处理的正规方程,第二节 正规方程,正规方程：,特点：,主对角线分布着平方项系数，正数 相对于主对角线对称分布的各系数两两相等,看正规方程组中第r个方程：,则正规方程可写成,第二节 正规方程,即,正规方程的矩阵形式,第二节 正规方程,将 代入到 中，得,（待测量的无偏估计）,第二节 正规方程,例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系： 。为获得时铜棒的长度 和铜的线膨胀系数 ，现测得不同温度下铜 棒的长度，如下表，求 ， 的最可信赖值。,解：,1）列出误差方程,令 为两个待估参量，则误差方程为,第二节 正规方程,按照最小二乘的矩阵形式计算,则有：,第二节 正规方程,那么：,第二节 正
5、规方程,按正规方程计算：,第二节 正规方程,由正规方程得：,将数据表中数值代入得：,解得：,即：,第二节 正规方程,二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程,由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：,第二节 正规方程,整理得：,第二节 正规方程,即,不等精度测量的正规方程,将 代入上式，得,（待测量的无偏估计）,第二节 正规方程,例 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：,试求 的最可信赖值。,解：首先确定各式的权,第二节 正规方程,令,第二节 正规方程,用正规方程来计算。 用表格计算出正规方程常数项和系数：,第二节 正规方程,由正规方程可得：,解得最小二乘法结果为：
6、,三、非线性参数最小二乘处理的正规方程,第二节 正规方程,针对非线性函数,其测量误差方程为,令 ，现将函数在 处展开，则有,将上述展开式代入误差方程，令,则误差方程转化为线性方程组,于是可解得 ，进而可得 。,第二节 正规方程,第二节 正规方程,为获得函数的展开式，必须首先确定,1）直接测量,2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由此可解得 。,四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系,为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直 接测量，得n个数据 ，相应的权分别为,，则测量的误差方程为,第二节 正规方程,其最小二乘法处理的正规方程为：,由误差方程知a=1，
7、因而有：,第二节 正规方程,按照最小二乘原理可求得,结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。,第三节 精度估计,目的：给出估计量 的精度,一、测量数据精度估计,A）等精度测量数据的精度估计,对 进行n次等精度测量，给出 的估计量。,可以证明 是自由度（nt）的 变量。 根据 变量的性质，有,则可取,第三节 精度估计,作为 的无偏估计量。,因此测量数据的标准差的估计量为,例5-3：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系： 。为获得时铜棒的长度 和铜的线膨胀系数 ，现测得不同温度下铜 棒的长度，如下表，求铜棒长度的测量精度。 已知残余误差方程为：,第三节 精
8、度估计,第三节 精度估计,将测得值代入上式得：,第三节 精度估计,于是可得标准差为：,第三节 精度估计,B）不等精度测量数据的精度估计,测量数据的单位权 标准差的无偏估计,第三节 精度估计,二、最小二乘估计量的精度估计,A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计,设有正规方程,第三节 精度估计,设有不定乘数,为求 ，令不定乘数 分别去乘正规方程中的各式，再将各方程的左右两边分别相加得：,选择适当的 值，使之满足如下条件：,第三节 精度估计,则可求得：,第三节 精度估计,其中：,由于 为等精度 的相互独立的正态随机变量,第三节 精度估计,同理可得,则相应的最小二乘估计值的标准差为,同理为求 ，令不定
9、乘数 分别去乘正规方程中的各式，可推导得 的表达式。,B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计,第三节 精度估计,同理经推导可得：,各不定乘数 由 求得：,例5-4：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系： 。为获得时铜棒的长度 和铜的线膨胀系数 ，现测得不同温度下铜 棒的长度，如下表，求铜棒长度和线膨胀系 数估计量的精度。,第三节 精度估计,第三节 精度估计,已知正规方程为：,测量数据 的标准差为：,第三节 精度估计,则c、d的标准差为：,则：,因：,第四节 组合测量的最小二乘处理,组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是 等精度），然后对这些测量数据进行处理， 从而求得待测参数的估计量
10、，求其精度估计。,以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D 间的距离 。,A,B,C,D,A,B,C,D,第四节 组合测量的最小二乘处理,直接测量刻线间距的各种组合量，得：,首先列出误差方程,由此可得：,第四节 组合测量的最小二乘处理,则,式中，,现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入 误差方程中，,第四节 组合测量的最小二乘处理,第四节 组合测量的最小二乘处理,那么，,测量数据 的标准差为,第四节 组合测量的最小二乘处理,已知,则最小二乘估计量 的标准差为,例1：已知某一铜棒的电阻温度的函数关系为 通过实验得到数值如下。求a和b。,解：列出误差方程,则其系数矩阵为,因此铜棒的电阻温度关系为：,例2：由下列测量方程组求x、y、z的最可信赖值及其权。,解：其系数矩阵为：,则,则其权为：,例3：今有两个电容器，分别测其电容量，然后又将其串联和并联测量，得到如下结果（单位F）。试求电容的最可信赖值及其精度。,解：上述最后一个测量方程是非线性的，因为要化为线性的函数。为此将上述测量方程式表示为下面的函数形式：,为了将 化为线性函数关系， 令 的近似值 ， 的近似值 ， 并令 y x, 为修正值。,按泰勒级数将函数在 x0、y0 处展开，取一次项，则有,令,则,代入得:,则,代入得:,则,代入得:,
