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1、稳定性模型,对象仍是动态过程,而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程,而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,NEXT,8.1 捕鱼业的持续收获,再生资源(渔业、林业等)与非再生资源(矿业等),再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下,如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量,渔场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定。,背景,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解x(t), 只需知
2、道x(t)稳定的条件,r固有增长率, N最大鱼量,h(x)=Ex, E捕捞强度,x(t) 渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性(自治)方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点,不求x(t), 判断x0稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,产量模型,稳定性判断,x0 稳定, 可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强度使产量最大,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下,控
3、制捕捞强度使效益最大.,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,捕捞过度,封闭式捕捞追求利润R(E)最大,开放式捕捞只求利润R(E) 0,R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER,临界强度下的渔场鱼量,捕捞过度,令=0,8.3 种群的相互竞争,一个自然环境中有两个种群生存,它们之间的关系:相互竞争;相互依存;弱肉强食。,当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时,常见的结局是,竞争力弱的灭绝,竞争力强的达到环境容许的最大容量。,建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程,分析产生这种结局的条件。,模型假设,有甲乙两个种群,它们独自生存
4、时数量变化均服从Logistic规律;,两种群在一起生存时,乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。,对于消耗甲的资源而言,乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 1 倍。,模型,模型分析,(平衡点及其稳定性),模型,判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,仅当1, 2 1时,P3才有意义,模型,平衡点稳定性分析,平衡点 Pi 稳定条件: p 0 且 q 0,种群竞争模型的平衡点及稳定性,不稳定,21,11,P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点,P3 是两种群共存的平衡点,11, 21,P1稳定的条件 11 ?,11,21,稳定条件
5、,平衡点稳定性的相轨线分析,从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t),P1(N1,0)是稳定平衡点,(1) 21, 11,有相轨线趋向P1,有相轨线趋向P2,P1稳定的条件:直接法21,(3) 11, 21,(2) 11, 21,(4) 11, 21,加上与(4)相区别的 11,P2 稳定,P3 稳定,结果解释,对于消耗甲的资源而言,乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍。,P1稳定的条件:11,21 甲的竞争力强,甲达到最大容量,乙灭绝,P2稳定的条件:11, 21,P3稳定的条件:11, 21,通常1 1/2,P3稳定条件不满足,8.4 种群的相互依存,甲乙两种群的
6、相互依存有三种形式,1) 甲可以独自生存,乙不能独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,2) 甲乙均可以独自生存;甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。,3) 甲乙均不能独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,模型假设,甲可以独自生存,数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。,乙不能独自生存;甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长;乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。,模型,乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍,甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍,种群依存模型的平衡点及稳定性,P2是甲乙相互依存而共生的平衡点,平衡点P2稳
7、定性的相轨线,11, 121,P2稳定,121 前提下P2存在的必要条件,结果解释,21 甲必须为乙提供足够的食物甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍,11, 121条件下使121 成立,P2稳定条件:11, 121,甲可以独自生存,乙不能独立生存,8.5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型),种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫。,模型的历史背景一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞),但是其中鲨鱼的比例却增加,为什么?,食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t),甲独立生存的增长率 r,
8、乙使甲的增长率减小,减小量与 y成正比,乙独立生存的死亡率 d,甲使乙的死亡率减小,减小量与 x成正比,方程(1),(2) 无解析解,食饵-捕食者模型(Volterra),a 捕食者掠取食饵能力,b 食饵供养捕食者能力,Volterra模型的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性分析,P点稳定性不能用近似线性方程分析,p =0, q 0 P: 临界状态,q 0 P 不稳定,用数学软件MATLAB求微分方程数值解,xy 平面上的相轨线,计算结果(数值,图形),x(t), y(t)是周期函数,相图(x,y)是封闭曲线,x(t), y(t)的周期约为9.6,xmax 65.5, xmin 6, ymax
9、20.5, ymin 3.9,用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值: x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。,食饵-捕食者模型(Volterra),用相轨线分析 点稳定性,c 由初始条件确定,在相平面上讨论相轨线的图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,相轨线,P中心,相轨线是封闭曲线,求x(t), y(t) 在一周期的平均值,轨线中心,用相轨线分析 点稳定性,x(t) 的“相位”领先 y(t),模型解释,初值,相轨线的方向,模型解释,r 食饵增长率,d 捕食者死亡率,b 食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,a 捕食者掠取食饵能力,捕食
10、者数量与r成正比, 与a成反比,食饵数量与d成正比, 与b成反比,模型解释,一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降,但是其中鲨鱼的比例却在增加,为什么?,rr-1, dd+1,捕捞,战时捕捞,rr-2, dd+2 , 2 1,食饵(鱼)减少, 捕食者(鲨鱼)增加,自然环境,还表明:对害虫(食饵)益虫(捕食者)系统,使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加,益虫减少。,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进,Volterra模型,多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点,有稳定平衡点,相轨线是封闭曲线,结构不稳定一旦离开某一条闭轨线,就进入另一条闭轨线,不恢复
11、原状。,自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的,即偏离周期轨道后,内部制约使系统恢复原状。,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进,r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18,相轨线趋向极限环,两种群模型的几种形式,相互竞争,相互依存,弱肉强食,8.6 微分方程稳定性理论简介,在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型,有时无法得到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,尚有未知参数需要估计,而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要,因此,以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.,稳定性判别方法,易知 x0也是方程(6-2)的平衡点. (6-2)的通解为,关于x0是否稳定有以下结论:,这个结论对于(6-1)也是成立的.,关于常微分方程组的平衡点及其稳定性, 设,如果,则称平衡点P0是稳定的,否则为不稳定,下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设,则当p0且q0时, 平衡点P0是稳定的;当p0或q0时, 平衡点P0是不稳定的.,BACK,