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1、生活中的优化问题举例,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。,问题1:海报版面尺寸的设计,例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,解：设版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为：,求导数，有,解得，x=16 (x=-16舍去）,因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。,所以，当版心
2、高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。,练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知：,问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润 有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成本是0.8r2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制
3、造商能制造的瓶子的最大半径为6cm.,（）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,解：,由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：,知识背景,令,解：,由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：,令,因此，当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；,当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。,（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；,（2）半径为6时，利润最大。,练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚
4、线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?,x,h,解 设箱底边长为 x,则箱高为,箱子容积为,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,x,h,解 设箱底边长为 x,箱子容积为,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,当x(0,40)时,V(x)0;当x(40,60)时,V(x)0.,函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.,答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3,练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解 设圆柱的高为
5、h,底面半径为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.,答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?,解:,存储量=磁道数每磁道的比特数.,设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。,由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 ,所以，磁道总存储量为：,(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储
6、量越大。,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,(2) 为求f(r)的最大值，先计算,解得,如何解决优化问题?,优化问题,优化问题的答案,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,利用导数解决优化问题的基本思路：,这节课,我们来继续学习几个优化问题的例子,1答案,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令 ,在 的范围内有唯一解x=15.,所以,当x=15(km)
7、,即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元, 则公路上每吨千米的运费为5t元. 这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,例5在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)。 （1）、如果C(x),，那么生产多少单位产品时，边际 (边际成本：
8、 生产规模增加一个单位时成本的增加量),（2）、如果C(x)=50x10000，产品的单价P100 0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？,变式 已知:某商品生产成本与产量q的函数关系式为, 价格p与产量q的函数关系式为,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？,【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y）， 且x 0，y 0， 则另一个在抛物线上的顶点为（x，y）， 在x轴上的两个顶点为（x，0）、（x，0）， 其中0 x 2 设矩形的面积为S，则S 2 x（4x2），0 x 2 由S（x）86 x20，得x ，易知 x 是S在（0，2）上的极值点， 即是最大值点， 所以这种矩形中面积最大者的边长为和,(课本第37页B组第1题) 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？,解:设宾馆定价为(18010x)元时，宾馆的利润最大,
