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1、全等三角形全章复习,2014.10.4,【知识网络】,要点一、全等三角形的判定与性质,要点二、全等三角形的证明思路,要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点,且到三边的距离相等.,4 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形; (2)倍长中线法; (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形; (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.,类型一、巧引辅助线构造全等三角形,例1、 如图:在四边形ABCD中,AD
2、CB,ABCD. 求证:BD.,【思路点拨】B与D不包 含在任何两个三角形中只有 添加辅助线AC,根据平行线 的性质,可构造出全等三角形.,证明:连接AC, ADCB,ABCD. 12,34 在ABC与CDA中,ABCCDA(ASA) BD,举一反三: 【变式】在ABC中,ABAC. 求证:BC,RtABDRtACD(HL) BC.,【答案】 证明:过点A作ADBC 在RtABD与RtACD中,AB=AC AD=AD,(2)倍长中线法:,3、己知:在ABC中,AD为中线. 求证:AD,【答案与解析】 证明:延长AD至E,使DEAD, AD为中线, BDCD 在ADC与EDB中,DC=DB,AD
3、=ED,ADCEDB(SAS) ACBE 在ABE中,ABBEAE,即ABAC2AD,AD,举一反三: 【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边x的 中线长 的取值范围是( ) A.1 x 6 B.5 x 7 C.2 x 12 D.无法确定,A,提示:倍长中线构造全等三角形,752x 75, 所以选A选项.,(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形:,4、在ABC中,ABAC. 求证:BC,【答案与解析】 证明:作A的平分线,交BC于D,把ADC 沿着AD折叠,使C点与E点重合. 在ADC与ADE中,AC=AE,AD=AD,ADCADE(SAS) AEDC AED是BED的
4、外角, AEDB,即BC.,(4)利用截长(或补短)法构造全等三角形:,5、如图所示,已知ABC中ABAC,AD是BAC的 平分线,M是AD上任意一点,求证: MBMCABAC,【答案与解析】 证明:ABAC,则在AB上截取AEAC,连接ME在MBE中,MBMEBE(三角形两边之差小于第三边)在AMC和AME中,, AMCAME(SAS) MCME(全等三角形的 对应边相等) 又 BEABAE, BEABAC, MBMCABAC,类型二、全等三角形动态型问题,6、如图(1),ABBD于点B,EDBD于点D, 点C是BD上一点且BCDE,CDAB,(1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由;
5、(2)如图(2),若把CDE沿直线BD向左平移, 使CDE的顶点C与B重合,此时第(1)问中AC 与BE的位置关系还成立吗?(注意字母的变化),【答案与解析】 证明:(1)ACCE理由如下:在ABC和CDE中,,BC=DE,AB=CD, ABCCDE(SAS) ACBE 又 EECD90, ACBECD90 ACCE,举一反三: 【变式】如图(1),ABC中,BCAC,CDE中,CECD,现把两个三角形的C点重合,且使BCAECD,连接BE,AD 求证:BEAD若将DEC绕点C旋转至图(2),(3)所示的情况时,其余条件不变,BE与AD还相等吗?为什么?,【答案】 证明:BCAECD, BCAECAECDECA, 即BCEACD在ADC与BEC中,AC=BC,CD=CE,ADCBEC(SAS) BEAD 若将DEC绕点C旋转至图(2),(3)所示的情况时, 其余条件不变,BE与AD还相等,因为还是可以 通过SAS证明ADCBEC.,