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1、方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。核心公式：一、实心方阵1方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数每边数2方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）13方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数215、每层数=（每边数-1）4二、空心方阵1、外边人数=总人数4层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2 =（最外层每边数-层数）层数4 =（最外层数+最内层数）层数23、 内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）45
2、、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析 这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？ 解：88=64（人） 答：排列这个方阵，共需要64名同学。例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析 依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。根据方阵问题应用题的解题规律，求
3、实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）4只。解：（1）棋子的总数是多少？66=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）4=20（只） 答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。例3.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。解:(1)方阵最外层每边的人数:204+1=5+1=
4、6(人)(2)整个方阵共有学生人数:66=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。例4:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：604+1=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数
5、=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：6041=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个）第三层棋子个数：（14-22-
6、1）4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）层数4进行计算。（14-3）34=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？解析：依据：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21可知每边的人数是：（人）原人数是：（人）【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。例5 一堆棋子排成一个实心方阵，共
7、有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析 排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的总数，然后减去去掉的棋子数，就是剩下的棋子数。 解：（1）去掉多少只棋子？ 82-1=15（只）（2）还剩多少只棋子？88-15=49（只）答：要去掉15只棋子，还剩下49只棋子。例6 育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排
8、成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？解题分析 排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。 解：（1）原来方阵中每排有多少人？ （5+26-1）2=15（人）（2）四年级共有多少人？1515+5=230（人） 答：育英小学四年级有230人。例7：参加中学生运动会团体操比赛的运动员
9、排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式： 去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数 人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为（人）【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名
10、学生？解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数每行人数每列人数。（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数原每行人数21，或去掉的总人数减少后每行人数21。本题中所求，即去掉的人数72113（人）或去掉的人数（71）2113（人）还剩的人数（71）（71）36（人）或还剩的人数7713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。例8 同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？解题分析 要
11、求出这个方阵有多少人，就要先示出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）2人，即10人。又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）层数4，即可求出这个方阵共有多少人。 解：6+（3-1）2-334=84（人） 答：这个方阵共有84人。例9.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个
12、数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)34=144(个)答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。例10：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数：1212=144（人）（2）第四层每边人数：12-2（4-1）=6（人）（3）空心方阵人数
13、：（6-2）（6-2）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=外边人数外边人数-（内边人数-2）（内边人数-2）解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4人（3）总人数：844=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）层数4【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）4（面） 例11：一个街心花园如右图所示.它由四
14、个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析：从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：（棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：（棵）解：大三角形三条边上共栽花：（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（棵）整个花坛共栽花：（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。例12.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是52
