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1、三角形知识点总结一、 基础知识1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点）2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三
2、角形、等边三角形、不等边三角形（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三角形中线知识点定义：三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段性质：性质1：三角形的中线是线段；性质2：三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心）性质3：直角三角形斜边上中线长度是斜边一半。如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；性质4：中线把三角形分成两个面积相等的三角形性质5：三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分；性质6：重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍；性质7：重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；题型：1. 三
3、角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是( ) A: 中线 B: 角平分线 C: 高 D: 中位线 2. 三角形的重心是三角形三条（）的交点。 A: 中线 B: 高 C: 角平分线 D: 垂直平分线 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_ 4. 如图，AD是ABC的边BC上的中线，BE是ABD的边AD上的中线，若ABC的面积是16，求ABE的面积5. 如图，AD是ABC的中线，CE是ACD的中线，DF是CDE的中线，如果DEF的面积是2，那么ABC的面积为（ ）6. 一定在ABC内部的线段是（） A: 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B: 钝角三角形的三条高、三条中线
4、、一条角平分线 C: 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D: 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 7. 如图，ABC的面积为40，AD为ABC的中线，BD=5，BE为ABD的中线， EFBC，求点E到BC边的距离8. 如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，CD=1006，则AB=_ 直角三角形斜边上中线长度是斜边一半。n 重心是三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段如图：（1）AD是ABC的BAC的平分线.（2）1=2= BAC.注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角
5、平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心）角平分线上的点到角的两边距离相等（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段如图：AD是ABC的BC上的高线；ADBC于D；ADB=ADC=90.注意：三角形的高是线段；锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点（垂心）由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段 如图：DE是ABC的边BC的中垂线；DEBC于D；
6、BD=DC 注意：三角形的中垂线是直线； 三角形的三条中垂线交于一点（外心）小总结：内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边距离相等.外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.性质：到三个顶点距离相等.重心：三条中线的交点.性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.垂心：三条高所在直线的交点.5、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边6、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180;(2)三角形的一个外角
7、等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.7、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180推论：直角三角形的两个锐角互余。8、三角形的外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）如:ACD、BCE都是ABC的外角，且ACD=BCE.所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.三角形外角的性质：（1） 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和（2）三角形的一个外角大于与它不相邻
8、的任何一个内角9、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性10、多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。（2）正多边形：各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形（3）多边形的内角和为（n-2）*180度；多边形的外角和为360度二、等腰三角形1、等腰三角形的概念定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角2、三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”） （
9、2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合（简称为“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）注意：要正确区分等腰三角形的性质和判定4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形5、等边三角形的性质和判定性质：（1）等边三角形的三条边都相等（2） 等边三角形的每一个角都等于60度判定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于（2）等边三角形的
10、内心、外心、垂心和重心重合于一点三、直角三角形1、定义：有一个角为直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。2、分类：直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（属于特殊情况)3、判定定理等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等 直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R。直角三角形是一种特殊的三角形4、特殊性质它除了具有一
11、般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，BAC=90，则AB+AC=BC（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若BAC=90，则B+C=90性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：射影定理图（1）（AD)=BDDC。（2）（AB)=BDBC。（3）（AC)=CDBC。性质6:在直角
12、三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。证明：先证明定理的前半部分，RtABC中，ACB=90，A=30，那么BC=AB/2A=30B=60（直角三角形两锐角互余）取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BDBCD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）BC=BD=AB/2再证明定理的后半部分，RtABC中，ACB=90，BC=AB/2，那么A=30取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又BC=AB/2
13、BC=CD=BDB=60 A=30性质7:如图，在RtABC中BAC=90，AD是斜边上的高，则：证明：SABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC两边乘以2，再平方得AB*AC=AD*BC运用勾股定理，再两边除以,最终化简即得性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。判定方法：判定1：有一个角为90的三角形是直角三角形。判定2：若，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。判定3：若一个三角形30内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90）的三角形是直角三角形。判
14、定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理判定7：一个三角形30角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。四、勾股定理勾股定理内容：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a +b =c ； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边a，b，c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）五、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。1、性质（1）全等三角形的对应角相等。（2）全等三角形的对应边相等。（3）能够完全重合的顶点叫对应顶点。（4）全等三角形的对应边上的高对应相等。（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。（6）全等三角形的对应边上的中线相等。
