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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设复数Z满足（A）1 （B） （C） （D）2（2）（A） (B) （C） (D) （3）设命题（A） （B） （C） （D）（4）投篮测试中，每人投3次，至少2次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否命中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（5）已知是双曲线C：上的一点，两个焦点，若，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（6）九章算术是我国古代
2、极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”，其意为：“在屋内角处堆放米（如图，米堆是一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的的体积和米堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛(7)设D为，则（A） （B） (C) （D）(8)函数的部分图像如图所示，则的单调减区间为（A） （B） （C） （D）（9）执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）的展开式中，的
3、系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60(11)圆柱被一平面截去一部分后与半球（半径为r） 组成一个几何休，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则r=（A）1 (B)2 (C)4 (D)8(12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ）（A）- -，1） (B) - ，） (C) ，） (D) ，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若函数 .（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。（15）若，则的最大值为 。（16）在平面
4、四边形ABCD中，BC2，则AB的取值范围是 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）是数列的前n项和，已知，（)求数列的通项公式；（）设 求数列的前n项和.(18)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是菱形， ，E，F是平面ABCD同一侧的两点， ()证明：；()求直线AE与直线CF所成有的余弦值。（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y(单位：t)和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和对年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，46.65636
5、.8289.81.61469108.8表中（）根据散点图，判断哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程；（）已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y-x,根据（）的结果回答问题（i）年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值为多少？（ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2). (un vn)，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：与直线交于M，N两点。（）当时，分别求C在
6、M点和N点处的切线方程；（）,使得当变动时，总有？说明理由。（21）（本小题满分12分）已知函数（）当为何值时，轴为曲线的切线；（）用表示中的最小值，设函数讨论函数零点的个数。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆为的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O与点E，()若D为AC的中点，证明：DE是圆O的切线；()若,求的大小。(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1 ， ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为级轴建立极坐标系()求的极坐标
7、方程；()若直线，设，求的面积。(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数,。（）当时，求不等式的解集；（）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 设复数z满足=i，则|z|=（A）1 （B） （C） （D）2【答案】A（2）sin20cos10-con160sin10= （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=，故选D.（3）设命题P：nN，则P为 （A）nN, （B） nN, （C）nN,
8、 （D） nN, =【答案】C【解析】:，故选C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.（5）已知M（x0，y0）是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是（A）（-，）（B）（-，）（C）（，） （D）（，）【答案】A（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周
9、八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】学科网设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.（7）设D为ABC所在平面内一点=3，则（A）=+ (B)=（C）=+ (D)=来源:学科网ZXXK【答案】A【解析】由题知=，故选A.来源:学,科,网(8)函数f(x)=的部分
10、图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为(A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k (D)（）,k【答案】D（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【答案】C（10） 的展开式中，y的系数为（A）10 （B）20 （C）30（D）60【答案】A【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 A.（11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=来源:Z。xx。k.Com（A）1（
11、B）2（C）4（D）8【答案】B【解析】学科网由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选B.12.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）A.-，1） B. -，） C. ，） D. ，1）【答案】D第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。来源:学*科*网Z*X*X*K二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= 【答案】1来源:Zxxk.Com【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。【答案】【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.（15）若x,y满足约束条件则的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
