《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第45讲合情推理与演绎推理含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第45讲合情推理与演绎推理含答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 45 讲 合情推理与演绎推理 1了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理 2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论” ，能运用“三段论”进行简单的演绎 推理 3了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异 知识梳理 1合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的 部分 对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象都具 有这些特征的推理，或者由个别事物概括出 一般结论 的推理归纳推理是由部分到整体、由 个别 到 一般 的推理 (2)类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理 (3)合情推理
2、：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 ， 分析 ， 比较 ， 联想 ，再进行 归纳 ， 类比 ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 2演绎推理 (1)从 一般性 的原理出发，推出某个 特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎 推理，演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理 (2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： 大前提 已知的一般原理 ； 小前提 所研究的特殊情况 ； 结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 . 热身练习 1(2015陕西卷)观察下列等式： 1 ， 1 2 1 2 1 ， 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 ， 1 2 1 3 1 4 1 5
3、1 6 1 4 1 5 1 6 据此规律，第 n 个等式为 1 . 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 等式左边是一个和式，先观察其通项： 等式的左边的通项为， 1 2n1 1 2n 前 n 项和为 1 ； 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 右边的每个式子的第一项为， 1 n1 共有 n 项，故为. 1 n1 1 n2 1 nn 所以第 n 个等式为 1 . 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 2用类比的方法填写下表中的空白： 等差数列an中等比数列bn中 a3a2db3b2q a3a4a2a5b3b4
4、b2b5 a1a2a3a4a55a3 b1b2b3b4b5b 5 3 类比得：b1b2b3b4b5b . 5 3 3如图(1)有面积关系：，则由图(2)有体积关系： S PAB S PAB PAPB PAPB . VPABC VPABC PAPBPC PAPBPC 平面上的面积可类比到空间上的体积 . VPABC VPABC 1 3S PABh 1 3S PABh PAPBPC PAPBPC 4(2018襄城区校级模拟)“所有 9 的倍数都是 3 的倍数，5 不是 9 的倍数，故 5 不是 3 的倍 数 ”上述推理是(B) A不是三段论推理，且结论不正确 B不是三段论推理，但结论正确 C是三段
5、论推理，但小前提错误 D是三段论推理，但大前提错误 5命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题， 推理错误的原因是(C) A使用了归纳推理 B使用了类比推理 C使用了“三段论” ，但推理形式错误 D使用了“三段论” ，但小前提错误 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的 归纳推理 (2018陕西咸阳模拟)观察下列等式： 2， 1 2 ， 1 22 3 9 2 8， 1 22 33 4 ， 1 22 33 44 5 25 2 根据以上规律，第 n(nN*)个不等式是 . 观察不等式，可得： 2 ， 1 2 4 2 22 2 112 2 ， 1 22 3 9
6、 2 32 2 212 2 8， 1 22 33 4 16 2 42 2 312 2 ， 1 22 33 44 5 25 2 52 2 412 2 由此可得第 n 个不等式是： . 1 22 3nn1 n12 2 1 22 3nn1 n12 2 (1)归纳推理是由个别到一般的推理，需要仔细观察特例的结构特征，从中发现一般规 律为了发现规律，有时对特殊情况要进行适当变形 (2)归纳推理的一般步骤是：对相关资料进行观察、分析、归纳整理；推出带有规律性的 结论(猜想)；检验猜想 1(2016山东卷)观察下列等式： (sin )2(sin)2 12； 3 2 3 4 3 (sin )2(sin)2(s
7、in)2(sin)2 5 2 5 3 5 4 5 23； 4 3 (sin )2(sin)2(sin)2(sin)2 34； 7 2 7 3 7 6 7 4 3 (sin )2(sin)2(sin)2(sin)2 45； 9 2 9 3 9 8 9 4 3 照此规律， (sin)2(sin)2(sin)2(sin)2 n(n1) . 2n1 2 2n1 3 2n1 2n 2n1 4 3 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的 是个固定数， 后面第一个数是等式左边 4 3 4 3 最后一个数括号内角度值分子中 的系数的一半， 后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所 4 3 以所求结果为 n(
8、n1)，即 n(n1) 4 3 4 3 类比推理 (2018陕西西安月考)已知ABC 的三边长为 a，b，c，内切圆半径为 r，则 S ABC r(abc)类比这一结论有：若三棱锥 ABCD 四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内 1 2 切球半径为 R，则三棱锥体积 VABCD_. 类比面积公式 SABC r(abc)的推导方法，以四面体内切球球心向四个顶点引直线 1 2 将四面体分成四个三棱锥，它们分别以四个面为底面，内切球半径 R 为高， 所以 VABCD R(S1S2S3S4) 1 3 R(S1S2S3S4) 1 3 (1)类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 (2
9、)类比推理的一般步骤是：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的 已知特征去推测另一类对象的特征(猜想)；检验猜想 2在ABC 中，若 ACBC，ACb，BCa，则ABC 的外接圆半径 r.将此结论 a2b2 2 拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 SABC 中，若 SA，SB，SC 两两垂直， SAa，SBb，SCc，则四面体 SABC 的外接球半径 R . a2b2c2 2 类比ABC 中，若 ACBC，ACb，BCa，则ABC 的外接圆半径 r 的推导方法构造长方形由此可将四面体 SABC 构造出长方体，由对角截面性质可 a2b2 2 知，球的直径等于长方体的体对角线长
10、，即 2R，故 R. a2b2c2 a2b2c2 2 合情推理与演绎推理 (2018河北诊断)观察下列等式： 11， 2349， 3456725， 4567891049， 请归纳出一个一般结论，并加以证明 观察这些等式， 第一个式子左边从 1 开始，1 个数，右边是 12； 第二个式子左边从 2 开始，3 个数相加，右边是 32； 第三个式子左边从 3 开始，5 个数相加，右边是 52； 由此归纳出： 第 n 个式子左边从 n 开始，2n1 个数相加，右边是(2n1)2； 第 n 个式子左边是首项为 n，公差为 1，项数为 2n1 的等差数列的和， 第 2n1 个数为 n(2n11)13n2.
11、 故第 n 个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.下面进行证明： 证明：等式左边是(2n1)个数的和，且这(2n1)个构成等差数列，其首项为 n，公差为 1， 根据等差数列求和公式得 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. n3n22n1 2 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜测的结论都要经过进一步的严格 证明 (2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性， 书写格式的规范性 3(1)求证：tan(x ). 4 1tan x 1tan x (2)设 xR 且 f(x1)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论 1fx
12、 1fx (1)证明：tan(x ). 4 tan xtan 4 1tan xtan 4 1tan x 1tan x (2)f(x)是以 4 为其一个周期的周期函数 因为 f(x2)f(x1)1 ， 1fx1 1fx1 11fx 1fx 11fx 1fx 1 fx 所以 f(x4)f(x2)2f(x) 1 fx2 所以 f(x)是周期函数，且其中一个周期为 4. 1归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体 越多，归纳的结论可靠性越大 2类比的关键是能把两类对象之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来，在学习中要注意 通过类比去发现探索新问题 3归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到 一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结 论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式 都正确的前提下，得到的结论是正确的
