《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第28讲正弦定理与余弦定理含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第28讲正弦定理与余弦定理含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第28讲正弦定理与余弦定理1掌握正弦定理、余弦定理2能利用这两个定理解斜三角形及解决与正弦定理、余弦定理有关的综合问题 知识梳理1正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即2R.2余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即：a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C.已知三角形的三边求各角时，余弦定理变形为cos A；cos B；cos C.1三角形边角关系(1)三角形三边的关系：三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边(2)三
2、角形边角关系：三角形中，大边对大角；三角形中，大角对大边(3)三角形三角关系：ABC.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos；(4)cossin.3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A，cbcos Aacos B.4解三角形的四种基本类型(1)已知两角及任一边，求另一角和两边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角；(3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角；(4)已知三边，求三角 热身练习1在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin Bb，则角A等于
3、(D)A. B.C. D. 因为2asin Bb，由正弦定理得2sin Asin Bsin B，所以sin A，因为0A，所以A.2若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为(A)A. B84C1 D. 由(ab)2c24得a2b22abc24，由C60得cos C，解得ab.3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b(D)A. B.C2 D3 由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D.4(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1
4、，则b. 在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又因为，所以b.5(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A75. 如图，在ABC中，已知C60，b，c3.由正弦定理，得，所以sin B.又cb，所以B45，所以A180604575. 求一个三角形中的有关元素(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B.C. D. 因为a2，c，所以由正弦定理可知，故
5、sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知C为锐角，故C. B (1)三角形可解类型有四类，求解时，可画出示意图，并将有关数据在示意图中标示，弄清所求解三角形是可解三解三角形中的哪一类，再根据相应类型运用正弦定理或余弦定理进行求解(2)已知两边和其中一边的
6、对角(如a，b，A)应用正弦定理时，有一解、两解和无解等情况，可根据三角函数的有界性、三角形内角和定理或“三角形中大边对大角”来判断解的情况，做出正确的取舍若求另一条边，可选择余弦定理进行求解1(2018浙江卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B，c3. 如图，由正弦定理，得sin Bsin A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得74c24ccos 60，即c22c30，解得c3或c1(舍去) 求多个三角形中的有关元素(2018抚州南城二中月考)在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长 图中涉及哪
7、些三角形？(ABD，ADC，ABC)哪些三角形是可解的？(ADC)哪些三角形含有需要求的量(ABD，ABC)你能得到的求解方案是怎样的？方案一：先解ADC，求出cos ADC，再转化为sin ADC，在ABD中利用正弦定理求出AB；方案二：先解ADC，求出cos C，再转化为sin C，在ABC中利用正弦定理求出AB. (方法一)在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cos ADC，所以ADC120，ADB60.在ADB中，AD10，B45，ADB60.由正弦定理得，所以AB5.(方法二)在ADC中，因为cos C，所以sin C，在ABC中，由正弦定理得，所以AB5. (1)涉
8、及多个三角形时，首先要分析所求元素位于哪个三角形中，有哪些元素是已知的，还需要怎样的元素，做到目标清楚(2)具体求解时，根据所求目标尽量选择满足三角形求解条件的三角形进行求解，使含所求元素的三角形成为可解三角形，解三角形得到所求元素2(2018佛山二模)如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AC，ABC，ACD.(1)求sinBAC；(2)求DC的长 (1)在ABC中，由余弦定理得：AC2BC2BA22BCBAcos B，即BC2BC60，解得BC2，或BC3(舍去)，由正弦定理得：，所以sin BAC.(2)由(1)有cos CADsin BAC，所以sin CAD，所以sin D
9、sin(CAD)， 由正弦定理得：，所以DC . 正、余弦定理的综合应用(2018 全国卷理)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC. (1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5. (1)本题主要考查正弦定理、余弦定理的综合应用(2)解三角形综合问题时，要注意：根据已知的边角画出图形，并在图形中标示已知条件；根据问题特点，合理运用正弦定理
10、、余弦定理等；注意三角恒等变换相关知识的运用3(2016江苏卷)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)求cos(A)的值 (1)因为cos B，0B，所以sin B.由正弦定理知，所以AB5.(2)在ABC中，ABC，所以A(BC)，于是cos Acos(BC)cos(B)cos Bcossin Bsin.又cos B，sin B，故cos A.因为0A，所以sin A.因此，cos(A)cos Acossin Asin.1解斜三角形有四种类型：(1)已知两角A，B与一边a，由ABC180及，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2b2c22bcc
11、os A，求出a，再由余弦定理求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边b的对角B，由C180(AB)，求出C，再由求出c.而通过求B时，可能有一解、两解或无解的情况，其可能出现的情况如下表：A90A90A90ab一解一解一解ab无解无解一解ab无解无解absin A两解absin A一解absin A无解2.解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意(如三角形内角和为180、三角形中大边对大角等)3对于涉及多个三角形的应用问题，需要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变形公式解此类题时，一般有如下思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果
