《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第41讲不等关系与不等式的性质含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第41讲不等关系与不等式的性质含答案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1不等关系 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 2一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 3二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 4基本不等式：(a0，b0) ab ab 2 (1)了解基本不等式的证明过程 (2)
2、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 5合情推理与演绎推理 (1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的 作用 (2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论” ，并能运用它们进行一些简单的推 理 (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异 6直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特 点 (2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点 120142018 年全国卷的考查情况 年份考查内容分值 2014 第 11 题 线性规划，由最小值求参数的值 第 14 题 演绎推
3、理 5 分 5 分 2015第 15 题 线性规划，求最大值5 分 2016第 16 题 线性规划的实际应用5 分 2017第 7 题 线性规划，求最大值5 分 2018第 14 题 线性规划，求最大值5 分 2.20142018 年全国卷的考查情况 年份考查内容分值 2014第 9 题 线性规划，求最大值5 分 2015第 14 题 线性规则，求最大值5 分 2016 第 14 题 线性规则，求最小值 第 16 题 演绎推理 5 分 5 分 2017 第 7 题 线性规则，求最小值 第 9 题 演绎推理 5 分 5 分 2018第 14 题 线性规划，求最大值5 分 直接考查不等式的试题，主
4、要是线性规划，2014 年至 2018 年全国卷和卷考查线性规划 的试题每年 1 道，占 5 分主要考查线性目标函数的最值或范围，且线性目标函数一般是具体系 数的函数，只有 2014 年全国卷目标函数中含有一个参数，由最值确定其参数值难度一般是中 等难度，2016 年全国卷考查了线性规划的实际应用问题 直接考查推理与证明的试题只有 2014 年全国卷的第 14 题和 2016 年全国卷的第 16 题及 2017 年全国卷的第 9 题，都是考查演绎推理，难度中等 1不等式与高中数学其他内容联系密切，在数学各分支中都有很广泛的应用从近几年全国 全国卷高考试题来看，纯粹考查不等式这一章的试题每年的分
5、值占全卷的比例并不高，但从整套 试卷来看，却处处分布着不等式的知识、方法和技巧因此，在不等式的复习过程中，要重视不 等式的“工具”作用，提高应用意识，会用不等式的知识和方法解决有关问题 在不等式这一部分的复习过程中，要注意以下问题： (1)复习不等式的性质时，注意培养严格的逻辑思维，分清一类性质是条件与结论的等价关系， 另一类性质仅是由条件推导出结论 (2)对均值不等式常有求最值或证明不等式中结合其他知识进行考查，注意解题过程中对代数 式进行适当的变形及化简，以达到利用均值不等式的三个条件即“一正、二定、三相等” (3)不等式的解法以一元二次不等式的解法作为重点，要求掌握含参数一元二次不等式或
6、可化 为含参数的二次不等式的求解问题，同时注意三个二次间的联系 (4)线性规划是高考的热点内容，在高考中频繁出现，对线性规划的考查仍以线性目标函数的 最值为重点，还可能以考查线性规划思想方法的形式出现，适当注意利用代数式的几何意义(距离、 斜率、面积等)求最值及线性规划的实际应用 (5)应用问题与不等式结合考查，需要根据题意建立不等式，设法求解或利用均值不等式或函 数的单调性求最值 (6)重视不等式的应用，注意不等式作为“工具性”知识在其他分支的应用，如求函数定义域、 值域、单调性及不等式恒成立或有解等问题 2在高考中，直接考查推理与证明的试题不多，但推理与证明贯穿于高中数学各章节，因此， 本
7、部分内容在高考中单独命题的可能性不大，仍然是以其他知识为载体，作为一种方法和思路考 查有关内容在备考时要注意： (1)高考对推理的考查以考查演绎推理为主，主要是在其他章节中结合具体的知识进行考查， 如在立体几何中结合位置关系的证明，在导数中结合单调性的证明等进行考查归纳、类比不仅 是新课标创新要求的体现，同时也是复习的有效方法，如等差数列与等比数列之间的类比，圆锥 曲线之间的类比等 (2)在直接证明和间接证明中，其主要有综合法、分析法、反证法等在应用这些证明方法时， 要注意过程的严谨、格式的规范综合法是高考中考查最多的一种证明方法，它是从已知条件推 导出结论，一般按照演绎推理进行，分析法是由结
8、论追溯到条件的证明方法反证法是从结论的 反面成立出发，推出矛盾的一种间接证明方法，单独要求用反证法证明或举反例的题目不会很多， 但是反证法作为一种数学思维模式在解决数学问题中却常常见到 第 41 讲 不等关系与不等式的性质 1了解不等式的概念，理解不等式的性质 2会比较两个代数式的大小 3会利用不等式的性质解决有关问题 知识梳理 1不等式的定义 用不等号“、0ab ；ab0，b0，则 1ab ； 1ab ； bbb，bcac ； 可加性：abacbc ； 不等式加法：ab，cdacbd ； 可乘性：ab，c0acbc ；ab，cb0，cd0 acbd ； 不等式乘方：ab0 anbn (nN，
9、n1)； 不等式开方：ab0 (nN，n1) n a n b 1倒数性质 (1)ab，ab0 b0，m0，则 (1)真分数性质： (bm0)； b a bm am b a bm am (2)假分数性质： ； 0) a b am bm a b am bm 热身练习 1某地规定本地最低生活保障金不低于 300 元，若最低保障金用 W 表示，则上述关系可以 表示为(B) AW300 BW300 CWg(x) Bf(x)g(x) Cf(x)0， 所以 f(x)g(x) 3 “acbd”是“ab 且 cd”的(A) A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 ab 且
10、 cdacbd. 当取 a1，b2，c5，d3 时，满足 acbd，但不能推出 ab 且 cd，故选 A. 4若 ab0，c B. D. 0 0，又 ab0， 1 d 1 c 所以 ，所以 0，xy0.所以(x2y2)(xy)(x2y2)(xy) 比较大小的方法有作差法和作商法 作差法：作差变形判断符号结论其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、 通分等 作商法：作商变形判断与 1 的大小关系结论 1(2017全国卷理)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则(D) A2xb，则 a2b2； 若 ab0，cd0，则； a d b c 已知 a，b，m 都是正数，并且 a ； am bm
11、 a b 若 ab，则 a3b3. 其中，真命题的序号是_ 对于，令 a1，b2 有 ab，但 a2b2不成立故为假命题 对于，因为 cd0，0，所以 ， 1 cd 1 d 1 c 又 ab0，所以 0， a d b c 所以.故为真命题 a d b c 对于，因为 0. am bm a b mba bmb 所以 ，即为真命题 am bm a b 对于，因为 yx3在(，)上是增函数， 所以当 ab 时，a3b3.所以为真命题 (1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可而要判断一个不等式成立，一 般需要证明 (2)判断大小关系，常用的方法有： 利用不等式的性质； 利用比较法(如作差法或
12、作商法)； 利用函数的单调性或借助函数的图象 2设 ab1，c ；acloga(bc) c a c b 其中正确结论的序号是 . (方法一：利用不等式性质) 由 ab1，0，得 ， 1 ab 1 b 1 a 又 c ，故正确 c a c b (方法二：利用作差比较法) 因为 0，所以 .故正确 c a c b cba ab c a c b (方法一：利用作商比较法) 因为 ab1，所以 1，cb1 时，acb1，又 cbc， 由对数函数的性质得：logb(ac)loga(ac)loga(bc)，故正确 不等式性质的应用 若变量 x，y 满足约束条件Error! 则 zx2y 的最小值为_ 本题
13、一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解因为 2xy，xy 的 范围已经给出，若能将 x2y 用 2xy，xy 表示，则可利用 2xy 与 xy 的范围求出 x2y 的 范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果 因为 x2y(2xy)yx， 而 32xy9，9yx6， 所以6x2y3， 当Error!即 x4，y5 时取到左边等号， 所以 z 的最小值为6. 6 (1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运 算但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意本 题中，2xy 与 xy 中的 x，y 不是独立的
14、，而是相互制约的，因此，可把 2xy 与 xy 看作一 个整体，把 x2y 用 2xy，xy 表示，再求出 x2y 的取值范围即先建立待求整体与已知范围 的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围 (2)将 x2y 用 2xy，xy 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设 x2ym(2xy)n(xy)，再比较得到 m1，n1. 3(2016北京卷)若 x，y 满足Error!则 2xy 的最大值为(C) A0 B3 C4 D5 2xy (2xy) (xy) 0 34. 1 3 4 3 1 3 4 3 当且仅当Error!即Error!时取等号，满足 x0， 所以
15、(2xy)max4. 1比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差变形判断(与 0 比较)结论； (2)作商法，具体步骤：作商变形判断(与 1 比较)结论，必须注意分母的符号 2运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件有关判断性命题，主 要依据是不等式的概念和性质一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个 命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果 3求范围问题： (1)差的范围转化为和的范围 Error!Error!adxybc. 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到 (2)商的范围转化为积的范围 (3)由 M1f1(x，y)N1，M2f2(x，y)N2，求 g(x，y)的范围 常令 g(x，y)mf1(x，y)nf2(x，y)，用恒等关系求出 m，n，再利用同向不等式相加求得范 围
