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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】2018年全国高考理科数学分类汇编函数与导数1.（北京）能说明“若f（R）f（0）对任意的R（0，2都成立，则f（R）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是f（R）=sinR【解答】解：例如f（R）=sinR，尽管f（R）f（0）对任意的R（0，2都成立，当R0，）上为增函数，在（，2为减函数，故答案为：f（R）=sinR2.（北京）设函数f（R）=aR2（4a+1）R+4a+3eR（）若曲线R=f（R）在点（1，f（1）处的切线与R轴平行，求a；（）若f（R）在R=2处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（R）=aR2（4a+1）R+4a+3e
2、R的导数为f（R）=aR2（2a+1）R+2eR由题意可得曲线R=f（R）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（R）的导数为f（R）=aR2（2a+1）R+2eR=（R2）（aR1）eR，若a=0则R2时，f（R）0，f（R）递增；R2，f（R）0，f（R）递减R=2处f（R）取得极大值，不符题意；若a0，且a=，则f（R）=（R2）2eR0，f（R）递增，无极值；若a，则2，f（R）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得f（R）在R=2处取得极小值；若0a，则2，f（R）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得f（R）在R=2处取得
3、极大值，不符题意；若a0，则2，f（R）在（，2）递增；在（2，+），（，）递减，可得f（R）在R=2处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（，+）3.（江苏）函数f（R）=的定义域为2，+）【解答】解：由题意得：1，解得：R2，函数f（R）的定义域是2，+）故答案为：2，+）4.（江苏）函数f（R）满足f（R+4）=f（R）（RR），且在区间（2，2上，f（R）=，则f（f（15）的值为【解答】解：由f（R+4）=f（R）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（161）=f（1）=|1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15）=，故答案为：5.（江苏）若函数f（R）=2
4、R3aR2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（R）在1，1上的最大值与最小值的和为3【解答】解：函数f（R）=2R3aR2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（R）=2R（3Ra），R（0，+），当a0时，f（R）=2R（3Ra）0，函数f（R）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（R）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（R）=2R（3Ra）0的解为R，f（R）在（0，）上递减，在（，+）递增，又f（R）只有一个零点，f（）=+1=0，解得a=3，f（R）=2R33R2+1，f（R）=6R（R1），R1，1，f（R）0的解集为（1，0），f（R）在（1，0）
5、上递增，在（0，1）上递减；f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（R）min=f（1）=4，f（R）maR=f（0）=1，f（R）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（R）maR+f（R）min=4+1=36.（江苏）记f（R），g（R）分别为函数f（R），g（R）的导函数若存在R0R，满足f（R0）=g（R0）且f（R0）=g（R0），则称R0为函数f（R）与g（R）的一个“S点”（1）证明：函数f（R）=R与g（R）=R2+2R2不存在“S点”；（2）若函数f（R）=aR21与g（R）=lnR存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（R）=R2+a，g（R）=对任意a0，判断是
6、否存在b0，使函数f（R）与g（R）在区间（0，+）内存在“S点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（R）=1，g（R）=2R+2，则由定义得，得方程无解，则f（R）=R与g（R）=R2+2R2不存在“S点”；（2）f（R）=2aR，g（R）=，R0，由f（R）=g（R）得=2aR，得R=，f（）=g（）=lna2，得a=；（3）f（R）=2R，g（R）=，（R0），由f（R0）=g（R0），得b=0，得0R01，由f（R0）=g（R0），得R02+a=，得a=R02，令h（R）=R2a=，（a0，0R1），设m（R）=R3+3R2+aRa，（a0，0R1），则m（0）=a0，m（1）=2
7、0，得m（0）m（1）0，又m（R）的图象在（0，1）上连续不断，则m（R）在（0，1）上有零点，则h（R）在（0，1）上有零点，则f（R）与g（R）在区间（0，+）内存在“S”点7.（全国1卷）设函数f（R）=R3+（a1）R2+aR若f（R）为奇函数，则曲线R=f（R）在点（0，0）处的切线方程为（）DAR=2RBR=RCR=2RDR=R【解答】解：函数f（R）=R3+（a1）R2+aR，若f（R）为奇函数，可得a=1，所以函数f（R）=R3+R，可得f（R）=3R2+1，曲线R=f（R）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线R=f（R）在点（0，0）处的切线方程为：R=R故选：D8.
8、（全国1卷）已知函数f（R）=，g（R）=f（R）+R+a若g（R）存在2个零点，则a的取值范围是（）CA1，0）B0，+）C1，+）D1，+）【解答】解：由g（R）=0得f（R）=Ra，作出函数f（R）和R=Ra的图象如图：当直线R=Ra的截距a1，即a1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（R）存在2个零点，故实数a的取值范围是1，+），故选：C9.（全国1卷）已知函数f（R）=2sinR+sin2R，则f（R）的最小值是【解答】解：由题意可得T=2是f（R）=2sinR+sin2R的一个周期，故只需考虑f（R）=2sinR+sin2R在0，2）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值
9、点，求导数可得f（R）=2cosR+2cos2R=2cosR+2（2cos2R1）=2（2cosR1）（cosR+1），令f（R）=0可解得cosR=或cosR=1，可得此时R=，或；R=2sinR+sin2R的最小值只能在点R=，或和边界点R=0中取到，计算可得f（）=，f（）=0，f（）=，f（0）=0，函数的最小值为，故答案为：10.（全国1卷）已知函数f（R）=R+alnR（1）讨论f（R）的单调性；（2）若f（R）存在两个极值点R1，R2，证明：a2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（R）=1+=，设g（R）=R2aR+1，当a0时，g（R）0恒成立，即f（R）
10、0恒成立，此时函数f（R）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式=a24，当0a4时，0，即g（R）0，即f（R）0恒成立，此时函数f（R）在（0，+）上是减函数，当a2时，R，f（R），f（R）的变化如下表：R（0，）（，）（，+）f（R）0+0f（R）递减递增递减综上当a2时，f（R）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0R11R2，R1R2=1，则f（R1）f（R2）=（R2R1）（1+）+a（lnR1lnR2）=2（R2R1）+a（lnR1lnR2），则=2+，则问题转为证明1即可，即证明lnR1lnR2R1R2
11、，即证2lnR1R1在（0，1）上恒成立，设h（R）=2lnRR+，（0R1），其中h（1）=0，求导得h（R）=1=0，则h（R）在（0，1）上单调递减，h（R）h（1），即2lnRR+0，故2lnRR，则a2成立11.（全国2卷）函数f（R）=的图象大致为（）BABCD【解答】解：函数f（R）=f（R），则函数f（R）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当R=1时，f（1）=e0，排除D当R+时，f（R）+，排除C，故选：B12.（全国2卷）已知f（R）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1R）=f（1+R），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）CA50B0C2
12、D50【解答】解：f（R）是奇函数，且f（1R）=f（1+R），f（1R）=f（1+R）=f（R1），f（0）=0，则f（R+2）=f（R），则f（R+4）=f（R+2）=f（R），即函数f（R）是周期为4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C13.（全国2卷）曲线R=2ln（R+1）在点（0，0）处的切
13、线方程为R=2R【解答】解：R=2ln（R+1），R=，当R=0时，R=2，曲线R=2ln（R+1）在点（0，0）处的切线方程为R=2R故答案为：R=2R14.（全国2卷）已知函数f（R）=eRaR2（1）若a=1，证明：当R0时，f（R）1；（2）若f（R）在（0，+）只有一个零点，求a【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（R）=eRR2则f（R）=eR2R，令g（R）=eR2R，则g（R）=eR2，令g（R）=0，得R=ln2当（0，ln2）时，h（R）0，当（ln2，+）时，h（R）0，h（R）h（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（R）在0，+）单调递增，f（R）f（0）=
14、1，解：（2），f（R）在（0，+）只有一个零点方程eRaR2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数R=a与G（R）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当R（0，2）时，G（R）0，当（2，+）时，G（R）0，G（R）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0时，G（R）+，当+时，G（R）+，f（R）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=15.（全国3卷）函数R=R4+R2+2的图象大致为（）DABCD【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B函数的导数f（R）=4R3+2R=2R（2R21），由f（R）0得2R（2R21）0，得R或0R，此时函数单调递增，排除C，故选：D
