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1、【MeiWei_81-优质适用文档】1.1.1正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题 学习过程 一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又，从而在直角三角
2、形ABC中，(探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则，同理可得，从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即试试：（1）在中，一定成立的等式是（）AB.C.D.（2）已知ABC中，a4，b8，A30，则B等于 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；（2）等价于 ，（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任
3、意两角及其一边可以求其他边，如； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如； （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形典型例题例1.在中，已知，cm，解三角形变式：在中，已知，cm，解三角形例2.在变式：在三、总结提升学习小结1.正弦定理：2.正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有等积法，外接圆法，向量法.3应用正弦定理解三角形：已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角知识拓展，其中为外接圆直径. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在中，若，则是（）.
4、A等腰三角形B等腰三角形或直角三角形C直角三角形D等边三角形2.已知ABC中，ABC114，则abc等于（）.A114B112C11D223.在ABC中，若，则与的大小关系为（）.A.B.C.D.、的大小关系不能确定4.已知ABC中，则= 5.已知ABC中，A，则= 课后作业 1.已知ABC中，AB6，A30，B，解此三角形2.已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k(k0)，求实数k的取值范围为1.1.2余弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习过程 一、课前准备复习1：在一个三角形中，各 和它
5、所对角的 的 相等，即 = = 复习2：在ABC中，已知，A=45，C=30，解此三角形思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学探究新知问题：在中，、的长分别为、. ，同理可得：，新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：， ， 理解定理（1）若C=，则 ，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角
6、形的三条边就可以求出其它角试试：（1）ABC中，求（2）ABC中，求典型例题例1.在ABC中，已知，求和变式：在ABC中，若AB，AC5，且cosC，则BC_例2.在ABC中，已知三边长，求三角形的最大内角变式：在ABC中，若，求角A三、总结提升学习小结1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：已知三边，求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边 知识拓展在ABC中，若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已
7、知a，c2，B150，则边b的长为（）.A.B.C.D.2.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.ABCD3.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.ABx5C2xDx54.在ABC中，|3，|2，与的夹角为60，则|_5.在ABC中，已知三边a、b、c满足，则C等于 课后作业 1.在ABC中，已知a7，b8，cosC，求最大角的余弦值2.在ABC中，AB5，BC7，AC8，求的值.1.1正弦定理和余弦定理（练习） 学习目标 1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形 学习过程 一、课前准备复
8、习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理复习2：在ABC中，已知A，a25，b50，解此三角形二、新课导学学习探究探究：在ABC中，已知下列条件，解三角形. A，a25，b50； A，a，b50； A，a50，b50.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）试试：1.用图示分析（A为直角时）解的情况？2用图示分析（A为钝角时）解的情况？典型例题例1.在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况变式：在ABC中，若，则符合题意的b的值有_个例2.在ABC中，求的值变式：在ABC中，若，且，求角C三、总
9、结提升学习小结1.已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2.已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3.已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4.已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）知识拓展在ABC中，已知，讨论三角形解的情况：当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解；当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计
10、分：1.已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（）.A.B.C.D.2.已知在ABC中，sinAsinBsinC357，那么这个三角形的最大角是（）.A135B90C120D1503.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加长度决定4.在ABC中，sinA:sinB:sinC4:5:6，则cosB 5.已知ABC中，试判断ABC的形状 课后作业 1.在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围2.在ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足，求角C1.2应用举例测量距离 学习目标 能够运用正弦定理
11、、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题 学习过程 一、课前准备复习1：在ABC中，C60，ab，c2，则A为 .复习2：在ABC中，sinA，判断三角形的形状.二、新课导学典型例题例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=.求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根
12、据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.例2.如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？三、总结提升学习小结1.解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检
