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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】中考压轴题（一）-与圆有关压轴题1.如图，在中，所对的圆心角为，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系（1）求圆心的坐标；（2）求经过三点的抛物线的解析式；（3）点是弦所对的优弧上一动点，求四边形的最大面积；（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点，使和相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）如图（1），连结则， ， 图1（2）由三点的特殊性与对称性，知经过三点的抛物线的解析式为 ， （3），又与均为定值， 当边上的高最大时，最大，此时点为与轴的交点，如图1 （4）方法1：如图2，为等腰三角形，图2等价于 设且，则， 又的坐标满足，在
2、抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 方法2：如图（3），当时，又由（1）知，点在直线上设直线的解析式为，将代入，解得直线的解析式为 解方程组得 又，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 方法3：如图3，为等腰三角形，且，设则 图3等价于， 当时，得解得 又的坐标满足，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 点评本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似
3、三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。2.（06湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）求的面积；（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由解 （1）抛物线的坐标为（2）连；过为的直径而（3）当点运动到的中点时，直线与相切理由：在中，点是的中点，在中，为等边三角形又为直径，当为的中点时，为的切线点评本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来
4、确定D点的位置。3（06湖南永州卷）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的直径交小圆于两点，大圆的弦切小圆于点，过点作直线，垂足为，交大圆于两点（1）试判断线段与的大小关系，并说明理由（2）求证：（3）若是方程的两根（），求图中阴影部分图形的周长ABCDEONHMF解 （1）相等 连结，则，故 （2）由，得， 又由，得 （3）解方程得：， ，在中，在中，弧长， 阴影部分周长 点评本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。4. （06辽宁卷）如图，已知，以点为圆心，以长为半径的圆交轴于另一点，过点作交于点，直线交轴于点（1）求证：直线是的切线；（2）求点的坐标及直线的解析
5、式；xyABCOFE（3）有一个半径与的半径相等，且圆心在轴上运动的若与直线相交于两点，是否存在这样的点，使是直角三角形若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）证明：连结 又又是的切线（2）方法由（1）知，又，由解得（舍去）或，直线经过，两点设的解析式：解得直线的解析式为 方法：切于点，又，即又，由解得（舍去）或 （求的解析式同上）方法，切于点， 由解得：， （求的解析式同上）（3）存在；当点在点左侧时，若，过点作于点， 当点在点右侧时，设，过点作于点，则xyABCOPFMEHNQ1234，可知与关于点中心对称，根据对称性得存在这样的点，使得为直角三角形，点坐标或点评本题是一道综合
6、性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方5. （06辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点（1）以为一边在第一象限内作等边及的外接圆（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）若与轴的另一个交点为点，求，四点的坐标；（3）求经过，三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹（2）由直线，求得点的坐标为，点的坐标为在中，是等边三角形，点的坐标为，连结是等边三角形直线是的
7、切线点的坐标为（3）设经过，三点的抛物线的解析式是把代入上式得抛物线的解析式是存在点，使的面积等于的面积点的坐标分别为，点评本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。6.已知：抛物线与轴相交于两点，且（）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（）若，求的取值范围；（）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（）若直线过点，与（）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式解 （）解法一：由题意得， 解得，为正整数， 解法二：由题意知，当时， 以下
8、同解法一） 解法三：， 又 （以下同解法一） 解法四：令，即，（以下同解法三）xyO（）解法一：，即 解得 的取值范围是 解法二：由题意知，当时， 解得：的取值范围是 解法三：由（）的解法三、四知， ， 的取值范围是 （）存在 解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧， 由切割线定理知， 即， 解法二：连接圆心所在直线， 设直线与轴交于点，圆心为， 则 ， 在中， 即解得 （）设，则yx7 过分别向轴引垂线，垂足分别为 则 所以由平行线分线段成比例定理知， 因此，即 过分别向轴引垂线，垂足分别为， 则所以 ，或 当时，点直线过， 解得 当时，点直线过， 解得故所求直线的解析式为：
9、，或 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；AEODCBGFxyl（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）在和中，四边形是正方形，又，（2）由（1），有，点是的外心，点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达
10、式为（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，则有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上8.在平面直角坐标系ROR中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0，)，直线l2的函数表达式为，l1与l2相交于点PC是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横坐标是a过点C作CMR轴，垂足是点M(1)填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐
11、标是 ，FPB的度数是 ；(2)当C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于C的半径R，并写出R=时a的值.(3)当C和直线l2不相离时，已知C的半径R=，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C图2NM解 (1) P(1，) 602134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C(第24题图甲)GDM (2)设C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CDPD过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则RtCDPRtP
12、GC (PCD=CPG=30，CP=PC)， 所以PG=CD=R 当点C在射线PA上，C和直线l2相切时，同理可证取R=时，a=1+R=，或a=-(R-1)(3) 当C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论： 如图乙，当0a时， 当时，（满足a），S有最大值此时（或） 当a0时，显然C和直线l2相切即时，S最大此时 综合以上和，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 9. 如图1，已知中，过点作，且，连接交于点（1）求的长；（2）以点为圆心，为半径作，试判断与是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点作，垂足为以点为圆心，为半径作；以点为圆心，为半径作若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持和相切，且使点在的内部，点在的外部，求和的变化范围ABCPEEABCP图1图2解 （1）在中， ， （2）与相切
