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1、【MeiWei_81-优质适用文档】第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆1. 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”.2. 确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3. 半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合.4. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.5. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.6. 在同圆或等圆中，
2、能过重合的两条弧叫做等弧.24.1.2垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：是直径弧弧弧弧中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在中，弧弧24.1.3弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2.圆心角定理：在同圆
3、或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：；弧弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，那他们所对的优弧劣弧分别相等.24.1.4圆周角1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半.即：和是弧所对的圆心角和圆周角3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周
4、角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.即：在中，是直径或是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.即：在中，是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角.4.一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补.推论：圆内接
5、四边形任何一个外角都等于他的内对角.即：在中，四边形是内接四边形24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系1.点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的.（1）点在圆内点在圆内；（2）点在圆上点在圆上；（3）点在圆外点在圆外；2.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个.3.三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.4.与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内
6、切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角.24.2.2直线与圆的位置关系1.如果圆O的半径为，圆心O到直线的距离为d，那么：（1）直线与圆相离无交点；（2）直线与圆相切有一个交点；（3）直线与圆相交有两个交点；2.直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：且过半径外端是的切线（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论
7、2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为：“见切点连半径得垂直”.解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径.3.切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角.即：、是的两条切线平分4.圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差；内公切线
8、长：是半径之和.24.3正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆.经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆.正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心.正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距.正n边形的半径R与边心距r把正n边形分成2n个全等的直角三角形.（1）正三角形在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.24.4弧长和扇形面积1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积【MeiWei_81-优质适用文档】
