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1、1991年试题 (理工农医类) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 【 】 Key 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 常规卷和A型卷答案 (1)A (2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 (A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1) (C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1) 【 】 Key (2)D (3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是 【 】 Key (3)B (4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 (A)12对 (B)24对
2、 (C)36对 (D)48对 【 】 Key (4)B 【 】 Key (5)A (6)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相 等,且顶点S在底面的射影O在ABC内,那么O是ABC的 (A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心 【 】 Key (6)D (7)已知an是等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【 】 Key (7)A (A)(0,0),(6,) (B)(-3,0),(3,0) (C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0) 【 】 Key (8)D
3、 (9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有 (A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种 【 】 Key (9)C (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【 】 Key (10)C (11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 (A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C)丙是甲的充要条件 (D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 【 】 Key (11)A (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4、 【 】 Key (12)C (13)如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间-7,-3上是 (A)增函数且最小值为5 (B)增函数且最大值为5 (C)减函数且最小值为5 (D)减函数且最大值为5 【 】 Key (13)B (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【 】 Key (14)C (15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M=xf(x)0,N=xg(x)0,那么集合xf(x)g(x)=0等于 【 】 Key (15)D 二、填空题:把答案填在题中横线上. (18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的
5、角是 45,那么这个正三棱台的体积等于 . (19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数 a1,那么a= . (20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PAPBPCa.那么这个球面的面积是 . Key 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 三、解答题. (21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合. Key 三、解答题. (21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质. 解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+co
6、s2x)+2sinxcosx+2cos2x =1+sin2x+(1+cos2x) =2+sin2x+cos2x Key (22)本小题考查复数基本概念和运算能力. (23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC2.求点B到平面EFG的距离. Key (23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力. 解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EFBD,H为AO的中点. BD不在平面EFG上.否则,平面EFG
7、和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾. 由直线和平面平行的判定定理知BD平面EFG, 所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离. BDAC, EFHC. GC平面ABCD, EFGC, EF平面HCG. 平面EFG平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线. 作OKHG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离. 注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分. (24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-,+)上 是减函数. Key (24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理
8、能力. 证法一:在(-,+)上任取x1,x2,且x11,解关于x的不等式 Key (25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能 力. 解:利用对数换底公式,原不等式左端化为 因为a1,式等价于 logax1,式等价于 Key (26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力. 依题意知,点P,Q的坐标满足方程组 将式代入式,整理得 (5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. 根据根与系数的关系,有 整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. 将,式及c2=a2+b2代入式,并整理得 3a
9、4+8a2b2-3b4=0, (a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因为 a2+3b20,解得b2=3a2, 整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. 将,式及b2=3a2,c=2a代入式,解得a2=1. 将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3. 解法二:式以上同解法一. 将式及c2=a2+b2代入式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因a2+3b20,解得b2=3a2. 即 (x2-x1)2=10. 将式代入式并整理得 (5b2-3a2)2-16a2b4=0. 将b2=3a2代入上式,得a2=1, 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为
