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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比2、通项公式：，首项：；公比：推广：3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：（1）当时，（2）当时，（为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列（2）等比中项：为等比数列（3）通项公式：为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。（3）若，则。特别的，当时，得注：等差和等比数列比较：等差
2、数列等比数列定义递推公式；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列中，,求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【变式2】an为等比数列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列，若，
3、求。类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。【变式2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【变式3】在等比数列中，求和。类型三：等比数列的性质例3.等比数列中，若,求.举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a1a100=100;则lga1+lga2+lga100=_.【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中，已知，求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解
4、决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。举一反三：【变式1】等比数列中，公比q=2,S4=1,则S8=_.【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：S30=？【变式3】等比数列的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.【变式4】等比数列中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_.【变式5】等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。类型五：等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差
5、数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，R,RR。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27
6、，它们的平方和为91，求这三个数。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.举一反三：【变式1】已知数列Cn，其中Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数p。【答案】p=2或p=3；【证明】设数列an、bn的公比分别为p,q，且pq【变式3】判断正误：(1)
7、an为等比数列a7=a3a4；(2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；(4)an是公比为q的等比数列，则、仍为等比数列；(5)若a，b，c成等比，则logma，logmb，logmc成等差.类型七：Sn与an的关系例7已知正项数列an，其前n项和Sn满足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列an的通项an.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=na-n，则数列an
8、既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列中，,求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.解析：法一：设此数列公比为，则由(2)得：.(3).由(1)得：,.(4)(3)(4)得：，,解得或当时，；当时，.法二：,又,、为方程的两实数根，或,或.总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】an为
9、等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】96法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96。【变式2】an为等比数列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；，又an0，a45=4。【变式3】已知等比数列，若，求。【答案】或；法一：，从而解之得，或，当时，；当时，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已知得将代入（1）得，解得或由（2）得或，以下同方法一。类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3
10、=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a10，得S3+S62S9，显然q=1与题设矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】；，。【变式2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；，则a1=1或a1=9.【变式3】在等比数列中，求和。【答案】或2，；，解方程组，得或将代入，得，由，解得；将代入，得，由，解得。或2，。类型三：等比数列的性质例3.等比数列中，若,求.解析：是等比数列，举一反三：【变式1】正项等比数
11、列中，若a1a100=100;则lga1+lga2+lga100=_.【答案】100；lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。【答案】216；法一：设这个等比数列为，其公比为，。法二：设这个等比数列为，公比为，则，加入的三项分别为，由题意，也成等比数列，故，。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中，已知，求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目
12、，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知b1,b2,b3成等比数列，S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：，由已知得得，即代入得，。法三：为等比数列，也成等比数列，。举一反三：【变式1】等比数列中，公比q=2,S4=1,则S8=_.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+
13、a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10(S30-S20)即302=10(S30-40),S30=130.法二：2S10S20，,.【变式3】等比数列的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.【答案】，(否则)=80.(1)=6560.(2)，(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数，由(3)知q1an为递增数列，an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得，q=3,n=4.【变式4】等比数列中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1
