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1、回扣6 立体几何与空间向量,板块四 考前回扣,回归教材,易错提醒,内容索引,回扣训练,回归教材,1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系,2.三视图 (1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高. (2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样.,3.柱、锥、台、球体的表面积和体积,4.平行、垂直关系的转化示意图 (1),(2)两
2、个结论,5.用空间向量证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3).则有： (1)线面平行 laa0a1a2b1b2c1c20. (2)线面垂直 laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.,(3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2c3. (4)面面垂直 vv0a2a3b2b3c2c30. 6.用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角满足cos |cosl1，l2|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量). (2)直线l与平面的夹角满足sin |cosl，n|(其中l是直线l的方向向量，n是平面的法向
3、量). (3)平面，的夹角满足cos |cosn1，n2|，则二面角l的平面角为或(其中n1，n2分别是平面，的法向量).,易错提醒,1.混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面内”的数学符号关系，应表示为Aa，a. 2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主. 3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数 .,4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理
4、和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由，l，ml，易误得出m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件. 5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.,6.几种角的范围 两条异面直线所成的角：090； 直线与平面所成的角：090； 二面角：0180. 7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.,回扣训练,解析
5、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,答案,1.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,2.直三棱柱ABCA1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题中是假命题的是 A.AB1平面BDC1 B.A1C平面BDC1 C.直三棱柱的体积V4 D.直三棱柱的外接球的 表面积为4 ,解析,解析 由三视图可知，直三棱柱ABCA1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABBC2. 连接B1C交BC1于点O，
6、连接OD. 在CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点， ODAB1， 又OD平面BDC1，AB1平面BDC1， AB1平面BDC1.故A正确； 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC， AA1BD.又ABBC2，D为AC的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,BDAC， 又AA1ACA，AA1，AC平面AA1C1C， BD平面AA1C1C， 又A1C平面AA1C1C， BDA1C. 又A1B1B1C1，A1B1B1B，B1C1B1BB1， B1C1，B1B平面B1C1CB， A1B1平面B1C1CB， 又BC1平面B1C1CB， A
7、1B1BC1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,BC1B1C，且A1B1B1CB1， A1B1，B1C平面A1B1C， BC1平面A1B1C， 又A1C平面A1B1C， BC1A1C， 又BDBC1B，BD，BC1平面BDC1， A1C平面BDC1.故B正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析,解析 若lm，m，则l或l，故A错误； 若l，m，则lm，B正确； 若lm，l，则m或m，故C错误； 若l，m，则lm或l，
8、m异面，故选B.,3.已知直线l，m和平面，则下列结论正确的是 A.若lm，m，则l B.若l，m，则lm C.若lm，l，则m D.若l，m，则lm,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 由题意知，l，l， n，nl. 故选C.,4.已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则 A.ml B.mn C.nl D.mn,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析,5.已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则 A.且l B.且l C.与相交，且交线垂
9、直于l D.与相交，且交线平行于l,解析 假设，由m平面，n平面，得mn， 这与已知m，n为异面直线矛盾，那么与相交， 设交线为l1，则l1m，l1n，在直线m上任取一点作n1平行于n， 那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1l.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：点H是A1BD的垂心；AH垂直于平面CB1D1；直线AH和BB1所成的角为45；AH的延长线经过点C1，其中假命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 ABAA1A
10、D，BA1BDA1D， 三棱锥 ABA1D为正三棱锥， 点H是A1BD的垂心，故正确； 平面A1BD与平面B1CD1平行，AH平面A1BD， AH平面CB1D1，故正确； AA1BB1， A1AH就是直线AH和BB1所成的角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,在直角三角形AHA1中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,根据正方体的对称性得到AH的延长线经过点C1， 故正确，故选B.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 如图，直线AB，CD异面.因
11、为CEAB， 所以ECD即为直线AB，CD所成的角， 因为CDE为等边三角形，故ECD60.,7.将正方体纸盒展开如图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交成60角 D.异面且成60角,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,8.长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3,4,5，则该球面的表面积为,解析 设球的半径为R，由题意可得(2R)232425250， 4R250，球的表面积为S4R250.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,1,2
12、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 方法一 取AB中点G，连接EG，CG. E为AD的中点，EGBD. GEC为CE与BD所成的角.设AB1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，,11.如图，在空间四边形ABCD中，点MAB，点NAD，若 ，则直线MN与平面BDC的位置关系是_.,解析,1
13、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,平行,答案,而BD平面BDC，MN平面BDC， 所以MN平面BDC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,12.如图，在长方体ABCDABCD中，E，F，G，H分别是棱AD，BB，BC，DD的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面ABD平行的有_条.,6,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 如图，连接EG，EH，FG，EF，HG， EHFG且EHFG， EFGH四点共面，由EGAB，EHAD， EGEHE，ABADA，
14、 可得平面EFGH与平面ABD平行， 符合条件的共有6条.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,13.点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB 与AC所成角的大小是_.,解析,答案,解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形ABCD的边长为1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,14.设m，n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命
15、题：,其中，正确的命题是_.(填序号),答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 中平行于同一平面的两平面平行是正确的； 中m，可能平行，相交或直线在平面内； 中由面面垂直的判定定理可知结论正确； 中m，可能平行或线在面内.,证明,15.如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO，沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到如图(2)所示的五棱锥PABFED，且PB . (1)求证：BDPA；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,证明 点E，F分别是边CD，CB的中点， BDEF. 菱形ABCD的对角线互相垂直， BD
