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1、第7节 抛物线,最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.,1.抛物线的定义,(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 . (2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).,知 识 梳 理,相等,准线,2.抛物线的标准方程与几何性质,1.思考辨析(在括号内打“”或“”),诊 断 自 测,解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.,(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形
2、. 答案 (1) (2) (3) (4),2.以x1为准线的抛物线的标准方程为( ) A.y22x B.y22x C.y24x D.y24x,抛物线的方程为y24x. 答案 D,3.(2018黄冈联考)已知方程y24x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为( ) A.5 B.3或5 C.2或6 D.6 解析 抛物线y24x的焦点为F(1，0)，它与直线xm的距离为d|m1|4，m3或5，故选B. 答案 B,4.(选修11P64A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,解析 很明显点P在第三象限，所以抛物线的
3、焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上. 当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0)， 把点P(2，4)的坐标代入得(4)22p(2)， 解得p4，此时抛物线的标准方程为y28x； 当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x22py(p0)，,此时抛物线的标准方程为x2y. 综上可知，抛物线的标准方程为y28x或x2y. 答案 y28x或x2y,5.已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_. 解析 设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k
4、24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范围是1，1. 答案 1，1,考点一 抛物线的定义及应用,答案 (1)C (2)(2，2),【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. (2)(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_. 解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.,(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，
5、垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.,|MB|MP|BP|3. 由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 答案 (1)y24x (2)6,由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2. 点M为FN的中点，PMOF，,考点二 抛物线的标准方程及其性质,(2)不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2(r0)，,故C的焦点到准线的距离为4. 答案 (1)D (2)B,规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线
6、的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,【训练2】 (1)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_.,(2)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|3，则AOB的面积为_.,解析 (1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，,故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB|4，,(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3
7、，所以点A的横坐标为2，将x2代入y24x得y28，,考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题,将其代入y22px整理得px22t2x0，,(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：,代入y22px得y24ty4t20， 解得y1y22t， 即直线MH与C只有一个公共点， 所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.,命题角度2 与抛物线弦长(中点)有关的问题,所以抛物线C的方程为y2x，,(2)证明 当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.,因为点P的坐标为(1
8、，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).,规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,【训练3】 (2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10,故|AB|DE|的最小值为16. 答案 A,
