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1、2 直观图,1.斜二测画法 斜二测画法的规则是: (1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时,它们分别对应x轴和y轴,两轴交于点O,使xOy=45,它们确定的平面表示水平平面; (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的 . 用斜二测画法画立体图形时,与平面图形相比多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且平行于z轴的线段的平行性和长度都保持不变,在直观图中,平面xOy表示水平平面,平面yOz和zOx表示直立平面.,做一做1 画水平放置的正三角形的直观图. 解
2、:画法:如图所示,第一步,在已知的正ABC中,取AB所在的直线为x轴,取对称轴CO为y轴,画对应的x轴,y轴,使xOy=45. 第二步,在x轴上取OA=OA,OB=OB,在y轴上取OC= OC. 第三步,连接AC,BC,所得ABC就是正ABC的直观图.,2.平面及其表示,在几何里所说的平面是无限延展的,通常我们只画出它的一部分来表示平面.一般地,用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图,并用希腊字母,等来表示(如图所示).,3.用斜二测画法画的直观图是根据平行投影的原理画出的图形,图中的投影线互相平行.我们还可以根据中心投影的原理来表示空间图形,此时投影线相交于一点.,做一做2 给出以下几个结
3、论: 水平放置的角的直观图一定是角; 相等的角在直观图中仍相等; 相等的线段在直观图中仍相等; 若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍平行. 其中叙述正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:结论与是正确的. 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)三角形的直观图可能为一条线段. ( ) (2)菱形的直观图可能为长方形. ( ) (3)空间几何体的直观图是唯一的. ( ) (4)如果一个水平放置的三角形ABC的面积为S,用斜二测画法画出的直观图的面积为S,那么S与S的关系是S= S. ( ) 答案:(1) (2) (3)
4、 (4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一画平面图形的直观图,【例1】 如图所示,在ABC中,BC边上的高为AD,试用斜二测画法画出其直观图. 分析:按照斜二测画法的画法规则画出直观图.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)在三角形ABC中建立如图所示的直角坐标系xOy,再建立如图所示的坐标系xOy,使xOy=45.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1 已知水平放置的矩形ABCD的长为4 cm,宽为2 cm,作出斜二测直观图ABCD,并求出四边形ABCD的面积.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究
5、二画空间几何体的直观图 【例2】画出底面边长为1.2 cm的正方形,侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90,如图所示. (2)画底面.以O为中心在x轴上截取线段EF,使EF=1.2 cm,在y轴上截取线段GH,使GH=0.6 cm. 分别过E,F作y轴的平行线,过G,H作x轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图. (3)画高.在z轴上截取OP,使OP=1.5 cm. (4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚
6、线,得四棱锥的直观图,如图所示.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2 画出长为5,宽为4,高为5的长方体的直观图. 解:(1)画出x轴,y轴,z轴三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90,yOz=90. (2)在x轴上取OA=5,在y轴上取OC=2,过点A作ABOC,过点C作CBOA,则四边形OABC为下底面. (3)在z轴上取OO=5,过点O作 OxOx,OyOy,建立坐标系xOy, 重复(2)的步骤作出上底面OABC. (4)连接AA,BB,CC,OO,即得到长方体 OABC-OABC的直观图.,探究一,探究
7、二,探究三,易错辨析,探究三由直观图还原平面图,【例3】 (1)如图所示的直观图中ABy轴,BCADx轴,且BCAD.其对应的平面图形ABCD是( ) A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形 (2)已知等边ABC的直观图ABC的面积为 ,则等边ABC的面积是 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)由直观图的画法,可知原四边形ABCD为直角梯形. (2)按照斜二测画法的规则,把如图所示的等边ABC的直观图ABC还原为如图所示的等边ABC,探究一,探究二,探究三,易错辨析,答案:(1)B (2),探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变
8、式训练3 (1)如图所示,ABC是ABC的直观图,图中BO=OC=CA,CAOy,则原图ABC是( ) A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(2)如图是一个四边形的直观图,则其原图形的面积为 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)建立平面直角坐标系,在x轴上截取BO=CO=BO,过C作y轴的平行线并在上面截取AC=2OC,连接AB,则得ABC的原图ABC,如图所示,因为ACBC,且AC=BC,所以ABC是等腰直角三角形. (2)由四边形的直观图可知,原四边形是一个直角梯形,其上、下底长分别为2、3,高为6
9、,面积为 6=15. 答案:(1)D (2)15,探究一,探究二,探究三,易错辨析,利用斜二测画法画图时,因未改变长度或方向而致误 典例画出如图(1)所示的四边形OABC的直观图(图中数据已经给出).,探究一,探究二,探究三,易错辨析,错解:以O为原点,OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,如图(2)所示. 作COB=45,其中OB是水平的,OB=4,OD=3,OC=1,过D作BDA=90,使AD=1,顺次连接OA,AB,BC,所得四边形OABC即为四边形OABC的直观图,如图(3)所示.,(4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,正解:如图(4)所示,作COB=45,其中OB是水平的,
10、OB=4,OD=3,OC=1,过点D作BDA=135,使AD=1,顺次连接OA,AB,BC,所得四边形OABC即为四边形OABC的直观图.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1 2 3 4 5 6,1.下面说法正确的是( ) A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B.两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线 C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D.水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析:正方形的直观图中对应边互相平行,不可能是梯形,A错;两条相交的直线的直观图仍然相交,不可能平行,B错;互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直,C错,只有D正确. 答案:D,1 2 3 4 5
11、6,2.如图所示,直观图ABC(其中ACOy,BCOx)所表示的平面图形是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解析:由ACOy,BCOx,ACB=45知,在原图形中,ACCB,所以对应的平面图形为直角三角形. 答案:D,1 2 3 4 5 6,3.如图所示,每个选项的两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( ),1 2 3 4 5 6,解析:分别画出该图形的直观图,比较即可看出. 答案:C,1 2 3 4 5 6,4.在如图所示的直观图中,四边形OABC为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系中原四边形OABC为 (填形状),面积为 cm
12、2. 解析:由斜二测画法规则知,在四边形OABC中,OAOC,OA=OA=2 cm,OC=2OC=4 cm,所以四边形OABC是矩形,其面积为24=8(cm2). 答案:矩形 8,1 2 3 4 5 6,5.在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱AD的长为 cm,棱AA1的长为 cm. 解析:画直观图时,在x轴上的线段长度保持不变,故AA1=4 cm,在y轴上的线段长度变为原来的一半,故AD=2 cm. 答案:2 4,1 2 3 4 5 6,6.画出如图所示的直角三角形的直观图.,解:画法:(1)画x轴和y轴,使xOy=45(如图所示); (2)在原图中作BDx轴,垂足为D(如图所示); (3)在x轴上截取OA=OA,OD=OD, 在y轴上截取OC= OC, 过D作BDy轴,使DB= BD; (4)连线成图(擦去辅助线),即ABC为ABC的直观图(如图所示).,1 2 3 4 5 6,
