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1、第六章 边缘检测,61 梯度 62 边缘检测算法 63 二阶微分算子 64 LoG算法 65 图像逼近,66 Canny 边缘检测器 67 子像素级位置估计 68 边缘检测器性能 69 线条检测,边缘(edge)是指图像局部 强度变化最显著的部分。图 像分析和理解的第一步常常 是边缘检测(edge detection),例如图像分割、纹理特征提取、形状特征提取等。 两种常见的边缘 ：阶跃 函数、 线条函数，如图61 所示，其中第一排为理想信 号，第二排对应实际信号，由于电子器件的低频特性，变成了斜坡边缘或屋顶形边缘。,图61 两种常见的边缘，(a) 阶跃函数，(b) 线条函数。,一些术语的定义
2、： 边缘点：图像中具有坐标 且处在强度显著变化的位置上的点 边缘段：对应于边缘点坐标 及其方位 的总和，边缘的方位可以用梯度角来表示 边缘检测器：从图像中抽取边缘(边缘点和边缘段)集合的算法 轮廓：边缘列表，或是一条表示边缘列表的曲线模型 边缘连接：从无序边缘表形成有序边缘表的过程习惯上边缘的表示采用顺时针方向来排序 边缘跟踪：一个用来确定轮廊的图像（指滤波后的图像）搜索过程,由边缘检测器生成的边缘集可以分成两个子集：真边缘集和假边缘集真边缘集对应场景中的边缘，假边缘集不是场景中的边缘还有一个边缘子集，即场景中漏检的边缘集假边缘集称之为假阳性（false Positive），而漏掉的边缘集则称
3、之为假阴性（false Negative） 边缘连接和边缘跟踪之间的区别在于：边缘连接是把边缘检测器产生的无序边缘集作为输入，输出一个有序边缘集；边缘跟踪则是将一幅图像作为输入，输出一个有序边缘集另外，边缘检测使用局部信息来决定边缘，而边缘跟踪使用整个图像信息来决定一个像素点是不是边缘 边缘检测+边缘连接=边缘跟踪,6.1 梯度,边缘检测是检测图像局部显著变化的最基本运算 梯度是函数变化的一种度量，图像灰度值的显著变化 可用梯度的离散逼近函数来检测定义为向量：,即一阶导数的二维形式。,与梯度有关的两个重要的性质： (1)向量 的方向就是函数 增大时的最大变化率方向；,(2) 梯度的幅值由下式给
4、出：,在实际应用中，通常用绝对值来近似梯度幅值：,或,由向量分析可知，梯度的方向定义为,其中,角是相对 轴的角度,注意梯度的幅值与边缘的方向无关，这样的算子称为各向同性算子 (isotropic operators),对于数字图像，方程61的导数可用差分来近似最简单的梯度近似表达式为,其中 ，i 对应于x 轴方向，j 对应于负 y 轴方向.,用下面的简单卷积模板表示为：,然而采用上面公式计算的梯度近似值 和 并不位于同一位置，实际上 是内插点 处的梯度近似值， 是内插点 处的梯度近似值,人们常常使用 一阶差分模板：,用上式计算梯度的位置是相同的，这一点位于内插点 处,一般采用 一阶差分模板。,
5、62 边缘检测算法,边缘检测算法有如下四个步骤： 滤波、增强、检测、定位。 滤波：边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数，但导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能需要指出，大多数滤波器在降低噪声的同时也导致了边缘强度的损失，因此，增强边缘和降低噪声之间需要折衷 增强：增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值增强算法可以将邻域（或局部）强度值有显著变化的点突显出来边缘增强一般是通过计算梯度幅值来完成的 检测：在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种方法来确定哪些点是边缘点最简单的边缘检测判据是梯度幅
6、值阈值判据 定位：如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可在子像素分辨率上来估计，边缘的方位也可以被估计出来,下面讨论几种常用的边缘检测器： 1、 Roberts算子 2、Sobel算子 3、Prewitt算子,1、 Roberts算子 Roberts交叉算子为梯度幅值计算提供了一种简单的近 似方法，是一个交叉算子：,用卷积模板，上式变成：,其中 和 由下面的模板计算：,2 、Sobel算子 Sobel算子也是一种梯度幅值：,其中的偏导数用下式计算：,其中常数c2。,用卷积模板来实现：,Sobel算子是边缘检测器中最常用的算子之一,3、 Prewitt算子 Prewitt算子与Sobe
7、l算子的方程完全一样，只是常量c=1 。,4 、各种算法比较,图6.2用于边缘检测的测试图像 (a)原始图像 (b)7x7高斯滤波的图像,图63 各种边缘检测器对未经滤波的图像进行边缘检测的结果. (a) Roberts交叉算子（b）Sobel算子(c) Prewitt算子,图64 各种边缘检测器对滤波后的图像进行边缘检测的结果 (a) Roberts交叉算子（b）Sobel算子(c) Prewitt算子,原始彩色图像,灰度图像,二值化图像,直方图,GAUS滤波二值化,GAUS滤波灰度图像,PREWITT灰度图像,PREWITT二值化,ROBERTS灰度图像,ROBERTS二值化,修正后直方图
8、,修正后图像,63 二阶微分算子,前面讨论了计算一阶导数的边缘检测器，这样做会导致检测的边缘点太多 （对应阈值化后的粗线）。一种更好的方法就是求梯度局部最大值对应的点，并认定它们是边缘点，得到更精确的边缘，如图65所示。 在二维空间，对应二阶导数有两种算子：拉普拉斯算子和二阶方向导数,图65用阈值进行边缘检测和用二阶导数的零交点进行边缘检测示意图,631 拉普拉斯算子,平滑过的阶跃边缘二阶导数是一个在边缘点处过零的函 数(见图65)拉普拉斯算子是二阶导数的二维等效式函 数 的拉普拉斯算子公式为,使用差分方程对x和y方向上的二阶偏导数近似如下：,这一近似式是以点 为中心的 用j-1替换j，得到,
9、它是以点i,j为中心的二阶偏导数的理想近似式，同样,其近似的拉普拉斯算子模板为：,当拉普拉斯算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的过零点(均匀零区),有时希望邻域中心点具有更大的权值，比如下面的模板就是一种基于这种思想的近似拉普拉斯算子：,原则上，过零点的位置精度可以通过线性内插方法精确到子像素分辨率，不过由于噪声，结果可能不会很精确,考虑图66中所给的例子图中表明了对一幅具有简单阶跃边缘的图像进行拉普拉斯运算的结果,0 0 0 6 -6 0 0 0 0 0 0 6 -6 0 0 0 0 0 0 6 -6 0 0 0 0 0 0 6 -6 0 0 0,图66垂直方向的阶跃边缘拉
10、普拉斯响应,632 二阶方向导数,已知图像曲面f(x,y)， 为与y轴夹角，则二阶方向导数为,由于易受噪声干扰的影响，二阶方向导数在机器视觉中并不常用。必须采用特别有效的滤波方式，在下一节，我们将讨论高斯滤波与二阶导数相结合的边缘检测方法。,图67 垂直方向的斜坡边缘拉普拉斯响应,0 0 0 3 0 -3 0 0 0 0 0 3 0 -3 0 0 0 0 0 3 0 -3 0 0 0 0 0 3 0 -3 0 0,64 LoG算法,将高斯滤波和拉普拉斯边缘检测结合在一起，形成 LoG（Laplacian of Gaussian, LoG）算法，也称之为拉普 拉斯高斯算法 这种方法的特点是图像首
11、先与高斯滤波器进行卷积， 这一步既平滑了图像又降低了噪声。由于平滑会导致边 缘的延展，因此边缘检测器只考虑那些具有局部梯度最 大值的点为边缘点（为了避免检测出非显著边缘，应选择一阶导数大于某一阈值的零交叉点作为边缘点）,LoG边缘检测器的基本特征是： 平滑滤波器是高斯滤波器 增强步骤采用二阶导数(二维拉普拉斯函数) 边缘检测判据是二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较大峰值 使用线性内插方法在子像素分辨率水平上估计边缘的位置,LoG算子的输出h(x,y)是通过卷积运算得到的：,根据卷积求导法有：,其中：,称之为墨西哥草帽算子(见图68) ，图610给出了应用LoG算子和零交叉点检测的结果,图68一
12、维和二维高斯函数的拉普拉斯变换图的翻转图,图 610 拉普拉斯高斯边缘检测结果,高斯平滑运算导致图像中边缘和其它尖锐不连续部分的模糊，其中模糊量取决于的值值越大，噪声滤波效果越好，但同时也丢失了重要的边缘信息，影响了边缘检测器的性能因此，在不知道物体尺度和位置的情况下，很难准确确定滤波器的尺度,图69,拉普拉斯高斯模板,为了从图像中得到真正的边缘，有必要把那些通过不同尺度算子得到的信息组合起来,65 图像逼近,一幅图像是一个连续函数的采样阵列一般先在连续域内讨论，再用离散逼近法来计算所需性质。如果我们能从采样图像中估计连续函数，那么我们就能从估计的函数中求得图像性质，并且可以在子像素分辨率上计
13、算边缘的位置 图611为一幅数字图像对应的离散三维图形表示：,图611 连续图像强度函数的图形表示,设连续图像函数为：z =f (x,y) 。现在的任务是从数字 图像的灰度值重构连续函数。一般用简单的分段函数来 建立图像的模型。这样，任务就变成了重构每一个分段 解析函数，叫小面函数，以55为例，如图612所示，这种逼近叫小面模型（facet model）。每一个像素点都可以得到一个函数来逼近，使用这些函数而不是像素值来确定边缘位置，得到更精确的子像素分辨率边缘。,图6.12 55邻域逼近函数示意图,本例用下列三次多项式建立图像邻域模型（5*5）：,现在的任务是计算 ，可用最小二乘法通过奇异值分
14、解来计算 。边缘点出现在像素点邻域逼近函数一阶方向导数局部极值的位置。用小面模型边缘检测器获得的边缘运算结果见图615,图615 用小面模型边缘检测器获得的边缘,66 Canny 边缘检测器,检测阶跃边缘的大部分工作集中在寻找能够用于实 际图像的梯度数字逼近图像梯度逼近必须满足两个要 求：(1) 逼近必须能够抑制噪声效应，(2) 必须尽量精确地 确定边缘的位置有一种线性算子可以在抗噪声干扰和 精确定位之间提供最佳折衷方案，它就是高斯函数的一 阶导数， Canny边缘检测器是高斯函数的一阶导数，是对 信噪比与定位之乘积的最优化逼近算子。,用 I（x,y）表示图像使用可分离滤波方法求图像与 高斯平
15、滑滤波器卷积，得到,S(i,j)的梯度可以使用22一阶有限差分近似式（6.1节中的2*2算子）来计算x与y偏导数的两个阵列P(i,j)与Q(i,j)：,幅值和方位角可用直角坐标到极坐标的坐标转化公式来计算：,（1）非极大值抑制 为确定边缘，必须细化幅值图像中的屋脊带，即保 留幅值局部变化最大的点这一过程叫非极大值抑制 （NMS ），这一算法首先将梯度角 的变化范围减 小到圆周的四个扇区之一，如图616所示。,图616用于非最大值抑制的可能梯度方向划分示意图,其取值为03。 在每一点上，邻域的中心像素M(i,j)与沿着梯度线的两个元素进行比较，如果在邻域中心点处的幅值不比沿梯度线方向上的两个相邻点幅值大，则M(i,j)赋值为零这一过程可以把M(i,j)宽屋脊带细化成只有一个像素点宽,非极大值抑制过程可表示为：,中的非零值对应着图像强度阶跃变化处的对比度尽管在边缘检测的第一步对图像进行了平滑，但非极大值抑制幅值图像 仍会包含许多由噪声和细纹理引起的假边缘段实际中，假边缘段的对比度一般是很小的,（2）阈值化 减少假边缘段数量的典型方法是对N(i,j)使用一个阈值， 将低于阈值的所有值赋零
