《位移法幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《位移法幻灯片（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、结构力学,STRUCTURAL MECHANICS,Chap6 位移法,6-1 概述6-2 等截面杆件的转角位移方程6-3 位移法计算方法直接平衡法6-4 位移法计算举例6-5 位移法的基本体系6-6 对称结构的计算6-7 支座移动与温度改变时的计算,6-1 概述,位移法基本概念，位移法基本思想。,位移法也称变位法或刚度法，是另一种求解超静定结构的方法,以结点位移作为基本未知量，该方法不仅可用于超静定结构的求解，还可用于静定结构的求解。同时，位移法也为后续章节的学习奠定了基础。,1、基本概念,作为基本未知量,2、基本思路,位移法解题是一个拆、合的过程，即先把原结构“拆”成若干个单跨超静定梁，计
2、算出已知荷载及杆端位移影响下的内力，然后再把这些单跨梁“合”成原结构，利用平衡条件求出，这就是位移法的整体思路。,2、基本思路,力法：,力法：,力法：,力法,由于结点B为刚结点，有：从而可求出： 将转角 代入中 ，即可得到杆BA、BC的弯矩图，将其组在一起即为原结构的弯矩图。,2、基本思路,3、位移法仍需解决问题,确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的关系；结构上何种结点位移可作为基本未知量；如何建立求解未知量的位移法方程。,6-2 等截面杆件的转角位移方程,转角位移方程，杆端力和杆端位移的正方向规定,1、转角位移方程定义,用位移法求解超静定结构时，每根杆件均可看作单跨超静定梁，杆件的杆端力
3、与荷载、杆端位移之间恒具有一定的关系，可用函数进行表达，这种函数表达式称之为转角位移方程，也称为刚度方程。,2、 杆端力和杆端位移符号规定,杆端转角 顺时针为正，杆两端相对线位移 ，以使杆件产生顺时针转动为正；杆端弯矩以顺时针方向为正，杆端剪力的规定仍是以使作用截面产生顺时针转动为正。,3、由杆端位移求杆端力,（1）两端为固定端梁,根据力法， 对梁的弯矩无影响，故在计算时可不予考虑，很显然 。,3、由杆端位移求杆端力,显然，图6.2(b)等于图6.3(a) 、(b)两种情况的叠加，则：,3、由杆端位移求杆端力,求杆端弯矩 作用下杆端转角 和 。,采用力法，作出图6.3(a) 的 图、 图和 图
4、，如图6.4 。,3、由杆端位移求杆端力,由图6.4的(a) 、(b)图，图乘可得： 令 ，i称为杆AB的线刚度，则上式整理为： 同理：6.4的(a) 、(c)图，利用图乘法得：,3、由杆端位移求杆端力,求当杆两端有相对位移时杆端转角 和 。,由图6.3(b) 可得：,由 和计算结果，根据叠加原理，杆端转角 和 为：,整理为：,式(6-2)即为已知杆端位移 、 和 求杆端弯矩的公式，又称为AB梁的转角位移方程。,（6-2）,（6-1）,3、由杆端位移求杆端力,取杆件为研究对象，由平衡条件可以求出杆端剪力为：,由（6-2） 和（6-3）计算结果，杆端力可写为矩阵形式：,式(6-4)称为弯曲杆件的
5、刚度方程；,（6-3）,（6-4）,3、由杆端位移求杆端力,其中：,称为弯曲杆件的刚度矩阵，矩阵中的系数称为刚度系数。刚度系数是只与杆件的截面形状尺寸和材料性质有关的常数，所以又称为形常数。,3、由杆端位移求杆端力,（2）一端固定一端铰支梁,由上图(a)，可知，代入式(6-1)可得：,3、由杆端位移求杆端力,（3）一端固定一端定向支座梁,由上图(b)，可知，代入式(6-2)和(6-3)可得：,3、由荷载求杆端力,杆件只承受荷载作用时所得的杆端力，通常称为固端力，一般包括固端弯矩和固端剪力。固端力的求解仍然可以采用力法，在表6-1中列出了常见荷载作用下的固端力。从表6-1中可以看出，固端力的大小
6、只与杆件所承受的荷载形式有关，因而，固端力也称为载常数，一般用 表示为：,4、小结,综上所述，等截面直杆在荷载及杆端位移的共同作用下，利用叠加原理，杆端力一般公式为：,（6-5）,式（6-5）即为转角位移方程的一般形式。,6-3 位移法计算方法 -直接平衡法,基本未知量的确定，位移法基本方程,1、基本未知量,用位移法求解超静定结构时，它是以独立的结点位移作为基本未知量，其中结点位移包括结点角位移和结点线位移。,1、基本未知量,（1）结点角位移的确定 结点角位移的数目刚结点的数目 2个刚结点B、C，故有2个结点角位移 和 。,1、基本未知量,（2）结点线位移的确定 假设： 忽略轴向力产生的轴向变
7、形，则变形后的曲杆与原直杆等长； 假设结点转角和各杆弦转角都很小，则变形后的曲杆长度与其弦等长。 根据假设，杆件发生弯曲变形后，两个端点距离保持不变或者杆长保持不变，从而就减少了结点线位移的数目。,1、基本未知量,简单结构，采用观察法。 没有结点线位移,1、基本未知量,复杂结构，采用铰化体系法。具体做法是： 把结构中所有的刚结点、固定端全部改成铰结，则得到铰结体系； 对铰结体系进行几何组成分析，若体系几何不变，则无结点线位移；若几何可变或瞬变，则需考虑最少添加几根支座链杆才能保证几何不变，需增加的链杆数即为原结构的结点线位移数。注意：原结构的链杆支座、铰支座、及两平行链杆与杆轴平行的滑动支座不
8、予改变，而两平行链杆与杆轴垂直（或斜交）的滑动支座，只保留一根链杆。此种方法适用于不计轴向变形的受弯直杆结构。,1、基本未知量,图6.7(a)所示刚架，其铰结体系如图6.7(b)所示，必须在B、E结点各增加一根链杆才能成为几何不变体系，所以原结构独立结点线位移的数目为2个。,2、直接平衡法,设梁柱的线刚度均为i，图6.8(a)所示刚架，基本未知量为3个，分别为C、D结点的角位移 ，和柱顶的水平线位移 ，图6.8(b)所示。,2、直接平衡法,根据转角位移方程(6-5)，我们可以得到：,2、直接平衡法,如图6.9(a)所示，选取刚结点C为研究对象，建立平衡方程： 代入整理为：同理，选取刚结点D为研
9、究对象，可得：,：,（a）,（b）,2、直接平衡法,如图6.9(b) ，选取柱顶以上横梁CD为研究对象，建立平衡方程： 代入整理为： 其中 和 可以通过查表6-1得到，联立方程(a) 、(b) 、(c)，即可解出基本未知量1、2、3，将其代入转角位移方程，可求得杆端弯矩，从而绘制结构的弯矩图，进而绘制剪力图和轴力图。,：,（c）,3、小结,利用位移法求解超静定结构，建立的方程实质上是静力平衡方程。根据转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，对于结点角位移，建立结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，建立截面的投影平衡方程。这些方程称为位移法的基本方程，基本方程的个数等于基本未知量的个数。而这种根据
10、转角位移方程列出位移法基本方程的方法称为直接平衡方程法。,6-4 位移法计算举例,解题步骤可概括如下：（1）确定位移法的基本未知量。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。（3）根据平衡条件列位移法基本方程。对于每个角位移结点，建立结点的力矩平衡方程： ；对于结点线位移，建立截面的投影平衡方程： 或者 。（4）联立解方程，求结点位移。（5）将结点位移代入杆端力表达式，求出杆端力。（6）作内力图。根据杆端弯矩作弯矩图；选取杆件为研究对象，建立平衡方程，求出杆端剪力，从而绘制剪力图；选取结点为研究对象，建立平衡方程，求出杆端轴力，从而绘制轴力图。,例题6-1 试求下图所示连续梁的弯矩图。,其中：
11、，q=20 kN /m，P=60kN。【解】：（1）确定位移法的基本未知量。 此连续梁只有一个基本未知量，结点B的角位移 。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩，查表6-1得：,例题6-1,令 ，则：根据转角位移方程：（3）根据平衡条件列位移法基本方程。,（4）解方程，求结点位移。,解得：,（5）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩 。,例题6-1,（6）根据杆端力绘制内力图 。,例题6-2 试求下图所示刚架的弯矩图。,【解】：（1）确定位移法的基本未知量。有2个基本未知量，结点B、C的角位移1、2。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩，查表6-1得： 根
12、据转角位移方程：,例题6-2,（3）根据平衡条件列位移法基本方程。对于结点B，对于结点C，（4）式子（1）（2）联立解方程，求结点位移。 解得：,（1）,（2）,例题6-2,（5）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩并绘制弯矩图 。,弯矩图,例题6-3 试求下图所示刚架的弯矩图。,其中：各杆杆长、EI均相同，q=20kN/m，P=30kN。 。【解】：（1）确定位移法的基本未知量。有2个基本未知量，结点C的角位移1和柱顶的水平线位移2。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩，查表6-1得： 令 ，根据转角位移方程：,例题6-3,（3）根据平衡条件列位移法基本方程。对于结点C
13、，取柱顶以上横梁BC为研究对象，如下图所示：选取柱AB为研究对象，如下图所示：,（1）,（2）,例题6-3,选取柱CD为研究对象，如下图所示：结果代入（2）式，整理得：（4）式子（1）（3）联立解方程，求结点位移。解得：（5）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩 。,（3）,例题6-3,（6）根据杆端力绘制弯矩图 。,例题6-3,（7）根据弯矩图绘制剪力图和轴力图。 根据杆端弯矩，选取杆件为研究对象，应用静力平衡条件，建立平衡方程可以求出杆端剪力，然后作剪力图。,例题6-3,根据以上求的杆端剪力，绘制剪力图。,例题6-3,根据求出的杆端弯矩和剪力，选取结点为研究对象，应用静力平衡条件，建立平衡方程可以求出杆端轴力，从而绘制轴力图。,根据以上求的杆端轴力，绘制轴力图。,6-5 位移法的基本体系,典型方程，位移法的基本体系,通过基本体系建立位移法典型方程，从而对超静定结构求解，称为典型方程法。,1、基本体系,通过在结点上添加附加约束，原结构就变成了一组单跨超静定梁组成的组合体。添加 “附加刚臂”阻止刚结点转动但不能阻止结点移动；在可能发生线位移的结点，加上“附加链杆”用来阻止结点线位移同时不阻止结点的转动。附加刚臂用符号“ ”表示，附加链杆用符号“ ”表示。,
