《平面问题的直角坐标解答 童中华幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面问题的直角坐标解答 童中华幻灯片（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、弹性力学,主讲：童中华安徽工业大学,弹性力学简明教程第三版徐芝纶,2+ 上一讲回顾,2-9 按应力求解平面问题 相容方程按应力求解，应变相容方程，应力相容方程。例题，可能存在的应变，需要满足相容方程；可能存在的应力， 需要满足相容方程和平衡微分方程。2-10 常体力情况下的简化 应力函数当体力为常量时，两种平面问题的相容方程相同，可用应力函数求解，只需满足重调和方程，平衡微分方程自动满足。2-例题解题步骤：代入相容方程，平衡微分方程，所有边界条件，若不能精确满足，就用圣维南原理近似满足。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,【按应力求解】,(1) 设sx,sy,
2、txy的函数表达式，可包含待定参数；,(2) 代入相容方程,(3) 代入平衡微分方程,(4) 代入应力边界条件，小边界上用圣维南原理,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,【应力函数解法】,(1) 设应力函数F的函数表达式，可包含待定参数；,(2) 检验相容方程,(4) 代入应力边界条件，小边界上用圣维南原理,(3) 计算sx,sy,txy的表达式；,(5) 得知什么样应力函数可解决什么问题：逆解法,选择应力函数,YES,求应力分量,NO,满足边界条件？,YES,结论,NO,步骤（已知面力）,1 假设一个应力函数；,2 检查是否满足,3 根据(224)求应力分量；,4 检查所求应力分量能满足什么
3、样的应力边界条件(2-15),5 得出函数能解决何种问题,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,满足相容方程？,【逆解法框图】,积分求函数,YES,求应力分量,NO,满足边界条件？,YES,结论,NO,2 根据应力表达式积分求；,3 检查是否满足,4 根据(224)求应力分量；,5 检查所求应力分量能满足什么样的应力边界条件(2-15),6 得出问题的解。,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,满足相容方程？,【半逆解法】,假设应力的函数式,1 根据边界条件，假设某应力；,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,(2) 求应力分量,1. 一次函数F=a+bx+cy,无体积力，考察其能解决的问题。,(1
4、) 显然满足相容方程4=0,(3) 考察边界条件,【结论】(1)一次函数F=a+bx+cy,对应于无体力、无应力、无面力的状态；(2)任意应力函数 加上一个线性函数不影响应力分布。,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,(2) (a) F=ax2,2. 二次函数F=ax2+bxy+cy2,无体积力，考察其能解决的问题。,(1) 显然满足相容方程4=0,(b) F=bxy,(c) F=cy2,【结论】二次函数F=ax2+bxy+cy2对应于均匀应力分布状态。,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,(2) 应力分量,3. 三次函数F=ay3,无体积力，考察其能解决的问题。,(1) 显然满足相容方程4=
5、0,【结论】三次函数F=ay3对应于矩形截面梁纯弯曲问题。,(3) 需继续考察边界条件，以矩形板为例考查。,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,(2) 应力分量,3+. 考察三次函数F=ax3+bx2y+cxy2+dy3所能解决的问题。,显然满足相容方程4=0,【结论】三次函数F=ax3+bx2y+cxy2+dy3对应于线性应力分布的问题，如矩形截面梁的纯弯曲。,(1),3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,4. 考察四次函数F=ax4+bx3y+cx2y2+dxy3+ey4作应力函数需要满足什么条件。,若要满足相容方程4=0，则必须有,【结论】对于四次应力函数，为保证相容方程的满足，应力函数的
6、各待定系数必须满足（*）式。即，各待定系数不再相互独立，不能随意选取应力函数。,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答,5. 考察五次函数F=ax5+bx4y+cx3y2+dxy3+ey4作应力函数需要满足什么条件。,【结论】对于四次以上的应力函数，为保证相容方程在所有点都满足，应力函数的各待定系数必须满足一组方程组。,3-2 矩形梁的纯弯曲,一、建模,矩形截面梁l h，体力不计。取单位宽度梁研究，令单位宽度上力偶的矩为M。,考察两种情形：,1）平面应力宽度远小于深度和长度,2）平面应变宽度远大于深度和长度,注：M的量纲为力长度/长度=力）,3-2 矩形梁的纯弯曲,二、设应力函数,选应力函数F=a
7、y3,求应力分量,三、检验相容方程,满足相容方程 4=0,四、检验边界条件,3-2 矩形梁的纯弯曲,检查上下主要边界,满足,检查左右次要边界,满足,主矢量,近似满足,3-2 矩形梁的纯弯曲,主矩,关于M的正负号规定：,组成M的应力分量随坐标的增大而增加时，M为正，反之为负。即，使梁顶端受压的弯矩为正。,与材料力学结果一致,y,2-10+ 例题回顾,右侧面边界有,近似满足,因此，这些应力解答为正确解,Fl,y,1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，解答（3-1）才是完全精确的。若按其它形式分布（3-1）有误差。（即解答为圣维南原理意义下的精确解）。,2）由圣维南原理，不同的面力分布形式，解答只在
8、两端有误差，在离梁端较远处误差可忽略。本解答适用于lh的长梁，不适用于l与h尺寸差不多的深梁。,3-2 矩形梁的纯弯曲,【讨论】,3-3 位移分量的求出,【基本思路】,物理方程(2-12),几何方程(2-8)积分,根据约束确定待定参数,？,3-3 位移分量的求出,【求解过程】,物理方程(2-12),几何方程(2-8)积分,根据约束确定待定参数,(u,v),3-3 位移分量的求出,【求解过程】,物理方程(2-12),几何方程(2-8)积分,根据约束确定待定参数,(u,v),3-3 位移分量的求出,【求解过程】,物理方程(2-12),几何方程(2-8)积分,根据约束确定待定参数,(u,v),3-3
9、 位移分量的求出,【求解过程】,物理方程(2-12),几何方程(2-8)积分,根据约束确定待定参数,(u,v),其中、 u0，v0为待定常数，须由约束条件求出。,3-3 位移分量的求出,无论，u0，v0取何值。,平面假设,梁的各纵向纤维的曲率,铅垂线段x=x0的转角,与材力结果一致,3-3 位移分量的求出,根据约束确定待定参数,(u,v),【简支梁】,位移分量,梁的挠曲线方程,与材力结果一致,3-3 位移分量的求出,根据约束确定待定参数,(u,v),【悬臂梁】,位移分量,梁的挠曲线方程,与材力结果一致,v0什么含义？,【习题】如图所示矩形薄板悬臂梁，厚度为单位1，=常数，试用逆解法确定应力函数
10、F并计算梁内应力，应变和位移。材料剪切模量为G。,解：(1) 由逆解法知，取应力函数,可以解决矩形板受均布剪力的问题，即本题所对应的问题。,3-3 位移分量的求出,(2)显然应力函数满足相容方程,3-3 位移分量的求出,(3)由应力函数求应力,(4)考察边界条件，上下主要边界条件要精确满足,t,3-3 位移分量的求出,右边为小边界，有,此小边界可以精确满足,左边为小边界，在其余边界全部满足情况和平衡微分方程满足的情况下，此小边界自动满足，注意此边界为位移边界。,(5)计算位移,由物理方程得材料应变为,t,3-3 位移分量的求出,由几何方程，得,在左侧边界，有,t,3+ 小结,3-1 逆解法与半逆解法多项式解答逆解法：假设满足相容方程的应力函数，求应力，得到对应的应力边界条件，得知什么样应力函数可解决什么问题。半逆解法：边界条件应力应力函数考查相容方程全部应力考查边界条件得到问题的解。一次函数，二次函数，三次函数，四次及以上的函数。 3-2 矩形梁的纯弯曲组成梁端力偶的面力须按线性分布。 3-3 位移分量的求出应力 应变，积分位移 ，简支梁、悬臂梁：确定常数。,
