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1、4 对数,4.1 对数及其运算,一、对数的概念 一般地,如果a(a0,a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a叫作对数的底数,N叫作真数.,做一做1 (1)logab=1成立的条件是( ) A.a=b B.a=b,且b0 C.a0且a1 D.a0,a=b1 解析:(1)由对数的概念知a0且a1,而logaa=1,故a=b. 答案:(1)D,二、对数logaN(a0,a1)的性质 1.零和负数没有对数,即logaN中N 必须大于零; 2.1的对数为0,即loga1=0; 3.底数的对数为1,即logaa=1; 4.对数恒等式: 做一做2 使对数式
2、log5(3-x)有意义的x的取值范围是( ) A.x3 B.x0 D.x0,即x3. 答案:B,三、常用对数与自然对数 1.常用对数:以10为底的对数叫作常用对数,记作:lg N . 2.自然对数:以e为底的对数叫作自然对数, N的自然对数logeN简记作ln N . 做一做3 有以下三个说法: (1)lg(lg 10)=0; (2)若10=lg x,则x=10; (3)ln(ln e)=0. 其中正确的序号是 . 解析:lg(lg 10)=lg 1=0;ln(ln e)=ln 1=0,故(1),(3)正确.若10=lg x,则x=1010,故(2)错误. 答案:(1)(3),四、对数的运算
3、性质 如果a0,a1,M0,N0,则 1.loga(MN)=logaM+logaN ; 2.logaMn=nlogaM (nR);,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)因为(-2)2=4,所以log-24=2. ( ) (2)log34与log43表示的含义相同. ( ) (3)0的对数是0. ( ) (4)lg N是自然对数. ( ) (5)logaxlogay=loga(x+y). ( ) (6)loga(-3)4=4loga(-3). ( ),探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一对数式与指数式的互化 【例1】 完成下表指数式与对数式的转换
4、. 解析:(1)103=1 000log101 000=3,即lg 1 000=3; (2)log39=232=9; (3)log210=x2x=10; (4)e3=xlogex=3,即ln x=3. 答案:(1)lg 1 000=3 (2)32=9 (3)2x=10 (4)ln x=3,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1 将下列各指数式与对数式进行互化:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究二对数基本性质与对数恒等式的应用 【例2】 求下列各式的值:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2 (1)若log3
5、(lg x)=1,则x= ;,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究三对数式的化简与求值 【例3】 导学号91000118化简下列各式: 分析:利用对数的运算法则,将所给式子转化为积、商、幂的对数.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,忽视对数真数与底数的限制条件而致误 典例已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值. 错解:由对数的性质,可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练 导学号91000119已知lg x+lg y=2lg(x
6、-2y),求 的值. 解:因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2, 即x2-5xy+4y2=0.所以(x-y)(x-4y)=0, 解得x=y或x=4y.因为x0,y0,x-2y0,1 2 3 4 5 6,1.对数式x=ln 2化为指数式是( ) A.xe=2 B.ex=2 C.x2=e D.2x=e 解析:x=ln 2=loge2,ex=2. 答案:B,1 2 3 4 5 6,2.(2016辽宁沈阳高一质检)下列说法中,错误的是( ) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可化为对数式 C.以10为底的对数叫做常用对数 D.以e为底的对数叫做自然对数 解析:对
7、于B,任何一个底数大于零且不等于1的指数式都可化为对数式,这是对数的定义,但整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围,如(-5)2=25,就不能写成log(-5)25=2. 答案:B,1 2 3 4 5 6,3.下列各式中正确的是( ) A.loga6=loga2+loga4(a0,且a1) B.loga9=(loga3)2(a0,且a1) C.loga6=loga2loga3(a0,且a1) D.loga(-2)2=2loga2(a0,且a1) 解析:对于D项,loga(-2)2=loga22=2loga2,正确,其余均不对. 答案:D,1 2 3 4 5 6,4.若log15(log5x)=0,则x= . 解析:由已知得log5x=1,从而x=5. 答案:5,1 2 3 4 5 6,5.求下列各式的值:,1 2 3 4 5 6,6.计算下列各式的值.,
