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1、,In our classes,all the mobile phones should be switched off !,上课啦！,The class is begin!,高 等 几 何,主讲教师： 教材：高等几何罗崇善等编著 高教出版社 参考书：见教材中所列：“参考书目”,数学与应用数学专业,如何与我联系？,数学与计算机科学院,第一讲 课 程 概 论,一、高等几何的内容,高等几何,数学与应用数学专业主干课程之一,前三高,数学分析,高等代数,高等几何,后三高,实变函数,近世代数,点集拓扑,高等几何,射影几何,几何基础,本课程,主要介绍平面射影几何知识(教材前四章),综合大学：空间解几仿射几
2、何、射影几何, 一个学期,课 程 概 论,一、高等几何的内容,什么是射影几何？,直观描述,欧氏几何,仿射几何,射影几何,十九世纪名言,一切几何学都是射影几何,鸟瞰下列几何学,欧氏几何(初等几何),研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量,搬动,正交变换,对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果,欧氏几何,研究图形的 正交变换不变性的科学,(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等),仿射几何,平行射影,仿射变换,仿射几何,研究图形的 仿射变换不变性的科学,透视仿射变换,有限次平行射影的结果,仿射不变性,比如平行性、两平行线段的比等等,射影几何,中心射影,射影变换,射影几何,研究图形的 射影变换
3、不变性的科学,透视变换,有限次中心射影的结果,射影不变性,比如几条直线共点、几个点共线等等,射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的方法,综合法,给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容,解析法,形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题,本课程,以解析法为主，兼用综合法,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的与方法,三、开课目的,学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想,训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养,新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何
4、和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的与方法,三、开课目的,四、计划及注意点,周学时5，一个学期，第一四章；(第五章：自学阅读材料),把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。 线性代数齐次性,本课程,代数角度,几何角度,三维线性空间的商空间上的几何学,亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学,其他课程无可替代的数学思想与方法,必须充分预习，带着问题听课；有选择地做笔记。,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的与方法,三、开课目的,四、计划及注意点,课程学习成绩计算办法,特别约定,1、本课程的课堂内，手机一律关闭。,2、必须提
5、前10分钟到达教室，不得在课堂内吃东西。,以上约定适用于师生双方，请相互监督。,特别征集,本教材中的科学错误、印刷错误,回报方式 印象调整加分,特别鼓励,课堂随时提问、课后答疑提问,第0章 几何变换概论,特为一年级而增加的准备知识, 教材上没有, 可适当做笔记,一、对应与变换,1. 集合之间的对应(关系、映射),定义0.1. 设A, B为两个集合, f 是一种将A中的元素与B中的元素配对的法则. 则称f 为集合A与B之间的一个关系, 记作,设在f 下A中的元素a配对为B中的元素b. 则称b为a在f 下的一个像, 称a为b在f 下的一个原像, 或者说a是b在逆关系f -1 下的像, 即有,注：关
6、于关系的严格和详细论述, 请参阅任一本集合论.,一、对应与变换,1. 集合之间的对应(关系、映射),定义0.2. 设f 为集合A到B的一个关系. 如果对于集合A中的每一个元素, f 都惟一地指定集合B中的一个元素与之配对, 则称f 为从集合A到B的一个对应(或映射).在f 下A中的元素a对应于B中的元素b的事实常记为,或者,注：对应也称为函数.,第0章 几何变换概论,一、对应与变换,1. 集合之间的对应(关系、映射),定义0.3. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果对于集合A中的元素ab, 都有f (a)f (b), 则称f 为单射(injection),也称f 为从A到B内的对应.,定义0
7、.4. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果集合B中的每一个元素都是A中某个元素的像, 则称f 为满射(surjection), 也称f 为从A到B上的对应.,第0章 几何变换概论,一、对应与变换,1. 集合之间的对应(关系、映射),定义0.5. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果f 既是单射又是满射, 则称f 为一个双射(bijection),也称f 为一个一一对应.,注：在几何学中, 我们一般需要使用双射. 在以下的讨论中, 我们约定所论的对应都是双射.,定理0.1. 一个双射f 的逆对应f -1也是一个双射.,第0章 几何变换概论,一、对应与变换,2. 对应的乘积(复合),定义0.6. 设f 为集合A到B的一个对应, g 为集合B到C的一个对应. 则由此可确定集合A到C的一个对应h, 称h 为f 与g的乘积. 记作gf , 即,第0章 几何变换概论,注：设aA, bB, cC, 而且f(a)=b, g(b)=c. 则,今 天 作 业,温习课堂内容, 阅读思考题,The class is over. Goodbye!,课件作者：南京师大数科院周兴和,第0章 几何变换概论,
