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1、第四章 控制系统的根轨迹分析方法,系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性。,l 研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计 调节器（设计问题）。,l 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）；,l 根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置；,伊凡思(W.R. Evans)发明根轨迹法,几何图解求解特征根,l 系统中某一参数在全部范围内（0）变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。,l 可以推广到其它参数的变化参数根轨迹。 l 可用于单变量系统和多变量系统。,l 常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。,l 利用这些在s平面上
2、形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统。,本章主要内容,以K为变量的常规根轨迹的绘制方法 以其它参数为变量的参数根轨迹的绘制方法 根轨迹分析方法的应用 利用根轨迹分析和设计控制系统,1 根轨迹的基本概念,定义：,根轨迹,系统中某一参数在全部范围内变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。,1、根轨迹举例,例4-1-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。,开环传递函数：,分析：,闭环特征方程,求出2个闭环特征根：,（4-1-1）,闭环特征根是K的函数。当K从0变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。,闭环传递函数：,K取不同值：,（等于两个开环极点）,(两根重合于0.5处),（即0K1/4，两根为
3、实根）,1,0.5,(两根为共轭复数根，其实部为0.5),总结：,有两个闭环极点，有2条根轨迹。,根轨迹是从开环极点出发点。,通过选择增益K，可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。,如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。,这是个？阶系统，,2,根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。,例4-1-2,对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数=0.5，确定系统闭环特征根。,根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。,解：,阻尼角计算如下：,阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的K值可以计算出来。,与（4-1-1）式比较得：,即K=1。,获得系统的根轨迹有两个
4、方法：,图解法：利用Evans总结的 规律画出根轨迹。 近似,简单，尤其适合高阶系统,解析法：对闭环特征方程解 析求解，逐点描绘。 精确，工作量大,2 根轨迹的基本性质及绘图规则,1、根轨迹的基本关系式,典型的反馈控制系统如图:,其开环传递函数：,（4-2-1）,其中：K:开环增益，, 开环零点，, 开环极点。,闭环传递函数：,闭环特征方程为：,它们满足：,G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：,绘制根轨迹必须满足的基本条件：,（相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）,幅值条件,相角条件,（积的模等于模的积，商的模等于模的商）,注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征
5、方程中导出的，所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们在s平面上画出，就构成了根轨迹。,2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。,画法： 利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹。(充分必要条件) 确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。,例4-2-1,某系统开环传递函数,分析：,在s平面上，表示零点，表示极点。,2个开环极点p1和p2。,设s是系统的一个闭环特征根，,相角条件：,可以通过幅值条件，求出此s值下的K值:,s,则它必须满足：,一个开环零点z1，,2、绘制根轨迹的基本规则,例4-2-2,要求画出根轨迹。,某单位反
6、馈系统,分析：1个开环零点，3个开环极点，,-5,-2,-1,0,规则一、,根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。,闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。,闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次 = 开环传递函数的阶次,= 开环极点数,例中，,规则二、,根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。,根轨迹是K从0时的根变化轨迹，因此必须 起于K=0处，止于K=处。,观察幅值条件：,如果n m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。,对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。,*规则三、,根
7、轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。,证明：（1）连续性,从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。,证明：（2）对称性,因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。,规则四、,实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。,例如系统的开环零、极点分布如图。,0,1,2,5,要判断 和 之间的线段是否存在根轨迹，取实验点,开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。 。,处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零， 相角条件由其
8、右边的零极点决定。,奇数个，无论如何加减组合，总能使l(l=1,3,)成立。,对于例题，,在实轴上的根轨迹：,一条始于开环极点，止于开环零点， 另两条始于开环极点，止于无穷远处。,规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。,渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。,渐近线与实轴的夹角为：,渐近线与实轴的交点为：,l 它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的 l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状,规则五、,证明：,见图4-5。, 对于位于根轨迹上某一动点s0，, 从各开环零极点到这一点的向 量的相角随s0轨迹的变化而变化，, 当
9、s0到达无穷远处，各相角相等， 令其为，可写成：, 进而求出渐近线夹角：,由对称性知，,渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。,按照重心的求法，可求知交点的坐标,对例4-2-2，,交点坐标为：,即（1，j0）。,渐近线与实轴夹角为：,规则六、,当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点或会合点，大多发生在实轴上（仅讨论实根）。,性质：,在此点上必出现重根。,利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻极点间时，必有一分离点。,若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零 点）时，必有一会合点。,根轨迹的分离点与会合点：分离点与会合点是方程式 的根。,根轨迹在该点上对
10、应的K取这段实轴区域的极值。 分离点最大值，会合点最小值。,由求极值的公式求出：,它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者),在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的s 值:,注意：求出结果，需经判断，保留合理解。 如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。,求出重根角为:,在例题4-2-2中，,解出：,对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处。,求出重根角为:,规则七、,根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的K值利用劳斯判据求出。,根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。,在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：,即：,劳斯行列式,当6-2K
11、=0时，特征方程出现共轭虚根，求出K3。,虚根可利用s2行的辅助方程求出：,与虚轴的交点,与虚轴的交点为,例4-2-2的根轨迹如图。,K=.084,1、画出开环零极点,2、确定根轨迹根数,3、画出实轴上的根轨迹,4、求渐进线（nm）,5、求分离点,6、求与虚轴交点,7、画出根轨迹,8、求出特殊点对应的K值,规则九：K值由根轨迹幅值条件求出：,如分离点（-0.447,j0）处的K值：,规则八、,根轨迹的出射角：,在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：,在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为：,若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。,证明：,设
12、一系统的开环零、极点分布如图所示，,点为从 出发的根轨迹上一点。 该点到所有零极点的应符合相角条件：,l 而p1、p2、p4、z都分别趋近于各开环零极点相对于P3点的向量的相角。,此时，出射角 可以计算：,同理可证明入射角。,例4-2-3,设系统开环零极点图如图4-7。,其中,确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。,根据公式：,考虑到根轨迹的对称性，,出射角p3= -5，p4= 5,例4-2-4,作 的根轨迹。,开环极点3个：,分析：n=3，m=0, 没有开环零点。,(在s平面上的极点处标以“”，),根据规则一、二 、三 ：,根据规则四，实轴上0-为根轨迹。,分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远
13、处。,根轨迹有三个分支：,图4-8,根据规则五，求渐近线:n-m=3条,例4-2-4,渐近线与实轴夹角：,渐近线与实轴的交点：,-2.767,60,没有分离点。,例4-2-4,根据规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程：,K=256，必对应于一对纯虚根，,以 的系数构成辅助方程:,例4-2-4,根据规则八求出射角：,对P2，根轨迹的出射角为：,由对称性知：-4-j4处的射角为45,根轨迹完成。,例4-2-5,作 的根轨迹。,该系统 n=3 ，m=1。,根据规则一、二、三：,一个零点：,有三个开环极点：,该根轨迹有三个分支,分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，,有一个分支终止
14、于z = -1,另两个分支趋于无穷远。,根据规则四： 实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。,例4-2-5,根据规则五：渐近线有2条，n-m2。,-5.5,渐近线夹角：,渐近线与实轴的交点：,例4-2-5,根据规则七、 求根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程是：,K0时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴交点于K=0处。,例4-2-5,根据规则六、求分离点和会合点,则：,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。,可知一部分根轨迹为圆。 据此，可画出根轨迹。,均在根轨迹上。,大K分离点， 小K会合点。,求出重根角为:,例4-2-5,利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的K值。,s1是分离点
15、，s2是会合点。,完整的绘出根轨迹如图4-9所示。,图4-9,作业：A-4-7，A-4-11， 看书p130，表4-1常规根轨迹。,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。,例4-2-6,根据规则一、二、三、有四个极点：,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,分析：n=4，m=0。,该根轨迹共有四个分支，,-2,P1,P2,P3,P4,根据规则四、实轴上存在根轨迹是从-2到0之间。,终止于无穷远。,分别起始于p1, p2, p3,4，,例4-2-6,根据规则五、n-m=4条渐近线,与实轴交点：,渐近线相角分别为：,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,-1,根据规则八、计算出射角和入射角。,例4-2-6,复数极点p3= -1+j2的出射角：,复数极点p4：,p4= -1-j2 的出射角为90,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,p3= -1j2,例4-2-6,根据规则七、求出根轨迹与虚轴的交点,特征方程：,必对应于虚根,构造辅助方程：,求出：,时，第一列元素都为正值,例4-2-6,根据规则六、求根轨迹的分离点和会合点（重根点）,均是根轨迹的重根点，
