《工程力学 教学课件 ppt 作者 于荣贤 工程力学第13章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学 教学课件 ppt 作者 于荣贤 工程力学第13章（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第13章 动能定理 学习目标： 掌握常见力功的计算方法，理解质点及质点系的动能，应用动能定理解决实际问题。了解功率概念并会计算。 为了解决工程上的动力学问题，前面我们讨论了动力学基本定律；质点运动微分方程；以及刚体绕定轴转动的动力学基本方程。对某些工程动力学问题，用以上方法可以方便地解决。在动力学问题分析中可知，物体运动状态的变化和外力的机械作用是分不开的，它们之间的转换关系可用动能定理来揭示。动能定理不仅能揭示机械运动转化为其它运动形式的规律，而且动能定理也是解决动力学问题的另外一种行之有效的计算方法。 131常见力的功 1311不变力的功 设质点M在不变力(大小和方向都不变的力)F作用下沿
2、直线运动(图13-1)。,S表示位移。将力F沿速度方向和垂直于速度方向分解为分力,和,，因质点是沿水平方向运动，故只有水,才使质点改变运动状态，垂直分力,对质点的水平运动没有影响。因此，我们把力F在速度方向的,与位移S的乘积，称为力F在位移S上对质点所作的功。以W表示，即,（13-1）,表示力和运动方向的夹角，,平分力,投影,图13-1不变力做功,由上式可以看出：当,时，力作正功；当,时，力作负功；,时，力不作功。可,见，功是代数量。,上式说明：重力的功等于物体重力与重心始末位置高度差的乘积，与物体运动的轨迹无关。重物由高至低作正功；反之，由低至高作负功。,功的单位是力的单位与长度单位的乘积，
3、在我国量和单位国家标准中为牛顿米(Nm)，称为焦耳(J)。 物理学中讨论过的重力的功可视为不变力的功。如重为G的物体沿曲线由位置A运动到位置B，其位置高度差为h(图13-2)，重力G在这段路程上所作的功为：,（13-2 ）,图13-2重力做功,1312变力的功 设质点M在变力F(大小变化或方向变化或两者都变化的力)作用下沿曲线,运动(图13-3)。若求力,上所作的功，可将路程S分成无限多个小微段,，可以视,地把F看作常力。于是，力在此微段路程上所作的功称为元功，即,F在路程,为直线且在微段内近似,式中,力F与轨迹切线方向的夹角。变力F在整个路程S上对质点所作的功等于此路程内所有元功,的总和，即
4、,（13-3）,上式表明，变力在曲线路程上所作的功等于其切向分力的元功沿路程的积分。,图13-3变力做功,工程上经常遇到变力作功的问题。下面分述如下。 1作用在定轴转动刚体上力的功 设刚体绕定轴O转动，力F作用于刚体上的A点(图13-4)，若刚体转动一微小转角,时，则点A有微小位移,，于是力F在位移,中的元功为，,因为,O的力矩,，所以,当物体绕O轴转过,角时，力F的总功为：,（13-4） 于是可得结论：当物体绕定轴转动时，作用在物体上的力所作的功，等于该力对转轴之矩对物体转角的积分。 若力矩,为常量时，则,（13-5） 当力矩与物体转向相同时，力矩作正功；反之为负功。式中,是焦耳(J)。,等
5、于力F对于转轴,的单位为弧度(rad)，力矩功的单位也,图13-4力矩的功,2弹性力的功 图13-5所示的弹簧，一端固定，另一端系住作水平直线运动的物块M(可简化为质点)。设弹簧原长为,，刚性系数为C(Nm)。当弹簧处于原长时质点所在的位置O称为平衡位置。当质点偏离平衡位置使弹簧产生拉伸或压缩时，弹簧将对质点作用一弹性力F，此力企图使质点回复到平衡位置，因此弹性力的方向恒指向平衡位置O，即弹性力的方向与伸长(或缩短)的方向总是相反。当弹簧的变形在弹性范围内时，由物理学知，弹性力的大小与弹簧的变形量成正比，即,若求质点从,位置运动到,位置时弹性力F所作的功，可取弹簧的平衡位置O为坐标原点，在距原
6、点x处取微段dx，则弹性力在微小位移dx内的元功为,因此，质点从,位置到,位置，弹性力所作的功为,（13-6）,故弹性力的功等于弹簧初变形平方与末变形平方之差乘以弹簧刚性系数之半。当初变形大于末变形时，功为正；当初变形小于末变形时，功为负。弹性力的功只与弹簧的始末变形有关，而与质点运动的轨迹形状和路程长度无关。,图13-5 弹性力做功,例13-1 原长,，刚性系数,的弹簧，一端固定在O点，另一端在B点(图13-6)，且,，R=200mm。若把该弹簧由B点拉至A点，求弹性恢复力所作的功。,图13-6弹簧变形,解：因弹簧原长为,，故弹簧在B位置时的变形量即为初变形,，当B拉至A位置时，其变形为末变
7、形,。注意初、末变形均相对于原长,。,1)求,和,，由几何关系知:,2)求弹簧由B拉至A时恢复力所作的功。,例13-2 如图13-7所示带轮半径R200mm，两边带的拉力分别为,带轮上的转矩使轮子转动一圈时所作的功。,。试求作用在,图13-7带轮,解：1)求作用在带轮上的转矩。,2)求转矩使轮子转动一周所作的功,132质点的动能定理 1321质点的动能 由物理学知，一切运动着的物体都具有一定的能量。例如，高速飞行的子弹能击穿钢板而作功；运动的汽锤能改变锻件的形状而作功。这种由于物体以一定速度运动而具有的能量称为动能。实践表明，物体的质量越大，速度越高，其动能就越大。可见，动能是一个与质量和速度
8、有关的物理量。它的大小等于质点的质量与其速度平方乘积的一半，若用T表示动能，则,1322质点的动能定理 设质量为m的质点M，在力F作用下沿曲线运动(图13-8)。,时刻，质点在,位置，速度为,；,时刻，质点运动到,，速度为,，质点沿曲线走过的路程,。,（13-7）,动能是恒为正值的标量，其单位与功的单位相同。即,根据动力学基本方程,将此矢量式向轨迹的切线方向投影得：,即,两侧同乘以dS得,或写成,因,所以,将上式两边积分得,（13-8）,上式表明，在任一路程中质点动能的变化，等于作用在质点上的力在同一段路程上所作的功。这就是质点的动能定理，它表明了质点机械运动过程中，功与动能相互转化的关系。,
9、图13-8质点的动能定理,由式(13-8)可知，力作正功，则使质点的动能增加；力作负功，则使质点的动能减少；力不作功，则质点的动能保持不变。 例13-3图13-9所示，摆锤重,，摆杆OM长,，不计摆杆的重量和摩擦，试求要使摆锤摆动的,，摆锤在最低点M位置时应具有多大的速度。,最大角,图13-9摆锤,解：取摆锤为研究对象。它在运动过程中受重力G和拉力T作用。因摆锤运动时拉力T方向无位移，故力T不作功，只有重力G才作功。设摆锤在最低点时的速度为,，到达最高点时速度为零。因此，由质点的,可得：,由图可知,所以,动能定理,例13-4 重力为G=1000N 的小车，以,的速度碰到缓冲弹簧上(图13-10
10、)。设弹簧的刚性系数,，不计车轮与地面的摩擦，试求弹簧的最大压缩变形及其所受的最大冲击力,。,图13-10小车撞击弹簧,解 取小车为研究对象。作用于小车上的力有重力G，地面的法向反力,与,和弹性力F。小车刚碰到缓,，动能为,，弹簧未受压缩，,。到终了位置时，车速减为零,，动能亦为零，弹簧压缩量最大，记作,重力G、支反力,和,与小车运动方向垂直，故不作功，只有弹性力作功，其值为：,由质点的动能定理可得,由此求得：,冲器时，车速为,。,由冲击力的计算式,可以看出，当物重G和冲击速度v保持不变时，弹簧的刚性系数越小(即弹簧越软)，它所受的冲击力越小，反之则越大。因此，在工程中，常采用刚性系数较小的弹
11、簧作为缓冲弹簧使用。 133质点系的动能定理 1331质点系的动能 质点系内各质点动能的总和，称为质点系的动能。若一质点系由n个质点组成，各质点的质量分别为,，在某瞬时的速度分别为,，则此质点系在该瞬时的动能为,刚体是不变质点系，下面分别来计算刚体平动、定轴转动和平面运动时的动能。 1刚体平动时的动能 刚体平动时，因同一瞬时体内各点的速度均相同，若以,表示质心速度，则其动能为：,（13-9）,（13-10）,式中M整个刚体的质量。 上式表明：平动刚体某瞬时的动能等于刚体的质量和该瞬时质心速度平方乘积的一半。 2定轴转动刚体的动能 刚体绕定轴转动时，在同一瞬时，体内各点作圆周运动的角速度,均相同
12、(图13-11)，若以,表示任一质点的质量，,表示质点该瞬时的速度，质点至转轴z的距离为,。因,，则刚体在该瞬时,的动能为：,式中,-刚体对z轴的转动惯量。故,上式表明，定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与该瞬时角速度平方乘积的一半。,（13-11）,图13-11定轴转动刚体,图13-12平面运动刚体,3平面运动刚体的动能 由刚体平面运动分析可知，刚体作平面运动时，可视为刚体以瞬时角速度,若已知平面运动刚体某瞬时的速度瞬心P和绕瞬心转动的角速度为,，则刚体平面运动的动能,式中,刚体对瞬轴(通过瞬心并与运动平面相垂直的轴)的转动惯量。,绕速度瞬心转动(图13-12)。,因速度瞬心的位置随
13、时间而变，,不易直接计算，通常将上式改写为另一形式。根据转动惯量的平行轴,代入上式得,因,，故得,即平面运动刚体的动能等于刚体随同质心平动的动能和绕质心转动的动能之和。 1332质点系的动能定理 质点的动能定理对于质点系中每个质点都适用。设一质点系在力系作用下由位置1运动到位置2，取其中任一质点,来研究，由式(13-8)可得,将质点系中所有质点的上述方程相加可得,定理，则有,（13-12）,或,（13-13） 式中,和,分别为质点系在位置1和位置2时的动能。,作用在质点系上所有力作功的代数和。,上式表明，在某一路程上质点系动能的变化量等于作用在质点系上所有力在同一路程上作功的代数和。此即质点系
14、的动能定理。,必须指出，对于质点系来说，作用在其上的力有外力和内力，因此式(13-13)中的,作的功和内力所作的功。当质点系内各质点之间距离可变时，虽内力成对出现，但内力的功的代数和不等于零。但在刚体内，任意两个质点的距离保持不变，因而成对出现内力的功恰好正负相消，内力的功之和恒为零。所以，动能定理应用于刚体时，只须考虑外力的功。 综上所述可知，应用质点系动能定理求解动力学问题的关键是计算动能和功。在计算动能时，只需计算质点系在运动的某一过程中始末位置时的动能，而完全不必考虑动能(亦即速度)的变化过程；在计算作用于质点系上所有力的功时，只需涉及那些作功的力，而不作功的力则不必包含在动能定理方程
15、中。这是动能定理的特点，此特点往往使求解某些动力学问题显得很方便。 例13-5 已知滑轮的质量为m1，可看成半径为R的均质圆盘，其上作用一矩为M的力偶(图13-13)；物体A的质量为,。假设系统从静止开始向上运动，试求物体上升距离h时的加速度。绳索的质量和摩擦不计。,应包括外力所,图13-13滑轮系统,解 取整个系统为研究对象，其受力如图13-13所示。该系统由重物A、滑轮O和绳索构成，绳索看作是不可伸长的，故该系统可视为刚体系统。 1)计算系统的动能。在初始位置，系统静止，动能,。在终了位置，系统动能为滑轮动能和重物动能之和，故,2)计算主动力的功。重物上升h，滑轮转角设为,，则,3)应用动
16、能定理,（13-14）,（13-15）,因,都随时间而变，故方程式(13-14)两边对时间求导得,由于,，代入式(13-15)并化简得,例13-6 水平面内的行星齿轮机构如图13-14所示，系杆,在不变转矩M作用下绕定轴O转动，并带动行星,长为,，质量为m，并视为均质细杆；齿轮1的节圆半径为,，质量为,，并视为均质圆盘。试求细杆由静止开始转过角位移,时的角速度和角加速度。,齿轮1在固定齿轮2上作纯滚动。设系杆,图13-14行星齿轮机构,解：取整个系统为研究对象，其中系杆作定轴转动，齿轮1作平面运动，两齿轮接触点为其速度瞬心。分析,点的速度，可知系杆的角速度,和齿轮l的角速度,的关系为,1)计算系统的动能。初始位置，系统静止，动能,；系杆转过角位移,时的动能,，应为系杆定轴转动的动能,与齿轮l作平面运动的动能之和，即,2)计算主动力的功。由于系统在水平面内运动，故重力不作功。整个系统只有不变转矩M作功，即：,3)应用动能定理求解,将上式两边平方后对时间求导，则有,
