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1、B5量纲分析法与相似理论,量纲分析法通过揭示物理量量纲之间的内在联系，对物理现象作定性或半定量分析。,相似理论指导在模拟实验中如何设计方案、选择参数、处理数据等。,B5.1 量纲与无量纲化,1、量纲的概念,物理量包含大小和类别；大小由单位度量。,物理量(单位)分基本量(单位)和导出量(单位)。,流体力学基本量（单位）：质量(g)、长度(m)、时间(s)和温度( ),导出量（单位）由定义和物理公式决定。,物理量的类别 量纲。,基本量的量纲称为基本量纲；导出量的量纲可用基本量纲的幂次表示，称为量纲幂次式。,在国际单位制中基本量纲记为,导出量量纲举例：,二、物理量的无量纲化,物理方程的量纲齐次性：物
2、理方程描述同类物理量之间的定量关系。将方程中各项均用量纲幂次式表示，各项的基本量纲必须齐次。,以伯努利方程（沿流线）为例：,物理方程既然是量纲齐次的，可以将其无量纲化。,单位体积,单位质量,单位重量,例B5.1.1无粘气体圆柱绕流表面压强分布,解：方程常用形式,已知无粘气体（忽略粘性、重力）以速度 对二维圆柱作定常绕流。用无量纲形式的伯努利方程求圆柱表面的压强分布。,无量纲化,引入无量纲速度 ，方程简化为,上式为伯努利方程的一种无量纲形式，表示压强系数 与无量纲速度 的关系。,其他点压强系数随角度变化：,圆柱表面压强系数曲线如图示：,无量纲方程和曲线适用于任意大小的圆柱和任意大小的来流速度，具
3、有普适性。,前后驻点( )是正值1；,侧点( )是最大负值3；,讨论:本例说明，通过量纲组合引入新的无量纲量，可将原方程的形式简化，并具有普适性。,B5.2.1 白金汉定理,B5.2 量纲分析法,通过量纲分析把有量纲量组合成无量纲数。它揭示相关物理量在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。,1、一方程包含n个物理量，每个物理量的量纲均由r个独立的基本量纲组成，这些物理量可以并只可以组合成 个独立的无量纲量，称为数。,2、选择r个独立的物理量为基本量，将其余 个物理量作为导出量，依次同基本量作组合量纲分析，可求得相互独立的 个数。,白金汉定理又称为定理。,B5.2.2 量纲
4、分析法的步骤,原方程有n个变量,量纲分析后的新方程有相互独立的 个数,以分析圆管流动阻力为例：,(2)选含独立基本量纲的物理量为基本量（重复量）,(1)列举所有相关物理量:,(3)将导出量与基本量的幂次式组成表达式，用量纲幂次式求解表达式的指数，组成数。,本例选 (含 ),V (含 ),d (含 )为基本量。,本例导出量有4个： 。,求 的数,与 相应的数称为欧拉数 ，又称压强系数。分母上的1/2是按习惯人为加上的。,求 的数,（雷诺数）,(3)量纲分析关键在第一步：正确选择物理量。若遗漏了必需的物理量将导致错误,引入无关的物理量使分析复杂化。这需掌握流体力学知识和一定经验。,(4)列数方程,
5、讨论(1)原有7个物理量，需做106次实验才能得到需要的实验曲线。现在组合成4个无量纲量，为确定 只需做102次实验（改变 即可)。,(2)得到的 曲线具有普适性。,例B5.2.2A光滑圆球绕流阻力,(1)列举所有相关物理量,(2)选择基本量,(3)确定导出量的数,求 的数,(阻力系数),求 的数,（雷诺数）,(4)用数组成新的方程,上式表明光滑圆球绕流阻力是雷诺数的函数。,例B5.2.2B 三角堰,用量纲分析法求流量公式 。,(2)选择基本量,(3)确定导出量的数,解(1)列举物理量,求 的数,求 的数,(4)用数组成新的方程,讨论(1)例B4.2.1C中的解析解为 ，量纲分析结果与解析解形
6、式一致。,(2)若没有解析解,根据量纲分析结果在保证h不变的条件下做10次实验，可得到 的经验表达式。,(3)对 角确定的三角堰，量纲分析解确定了Q与h的定量关系。量纲分析与解析法起了同样的作用。,B5.3 流动相似与相似准则,B5.3.1 流动相似的概念,在几何中矩形相似条件为,在流动中几何相似指两个流场中尺度成比例。此外 还有动力相似，即对应力成比例 。,对流场本身作特征分析，写成 。将h称为 特征长度，将无量纲长度 称为几何相似准则数。,相似的矩形有相同的相似准则数。取惯性力为特征力，其它力与惯性力相比可得无量纲力 。,以不可压缩粘性流动为例。,1量纲分析法,B5.3.2 确定相似准则数
7、的两种方法,等称为动力相似准则数。,有关的物理量为密度 ，速度V，长度l，粘度 ，重力加速度g，压强差p，脉动圆频率 ，共7个。,用量纲分析法，取 为基本量，由4个导出量可分别构成4个动力相似准则数（数）。,量纲分析法常用于未知物理方程的场合。,引入特征量V、l、p0、g、1/，将各类物理量化为无量纲量,2.方程分析法,当物理方程已知时，将其无量纲化。如N-S方程,方程分析法导出的相似准则数物理意义明确。,代入N-S方程后可得,4个无量纲系数分别为 数。并分别代表了不定常惯性力、重力、压力、粘性力与迁移惯性力的量级比值。,特征长度：在圆管内取管径（圆管流动雷诺数），对钝体绕流取绕流截面宽度（绕
8、流雷诺数），对平板边界层取离前缘的距离（当地雷诺数）；,B5.3.3 常用的相似准则数,雷诺数是描述粘性流体行为的主要相似准则数。,特征速度：在圆管内取平均速度，对钝体绕流取来流速度，对平板边界层取外流速度。,1、雷诺数,按雷诺数大小可对粘性流动分类：当Re1时称为大雷诺数流动，除边界层外外流可按无粘性流体处理。,斯特劳哈尔数是研究不定常流动时间特征的相似准则数。,牛顿数是描述阻力、升力、力矩，动力机械中的功率等影响的相似准则数。分别称为阻力系数、升力系数、力矩系数和功率系数等。后二者表为,上式中D为动力机械旋转部件的直径，n为转速。,4、斯特劳哈尔数,5、牛顿数,模型实验不是模拟表面现象，应
9、是流场的物理本质。,模型实验主要用于无法用理论分析或数值计算的场合，也用于验证理论分析或数值计算结果。,为了正确设计和进行模型实验必需对流动现象有充分的认识，抓住支配该现象的主要物理法则。,B5.4 模型实验与相似理论,B5.4.1 模型实验,模型实验的优点(1) 比原型实验节省费用;(2) 可减少实验次数，提高工作效率;(3)按相似准则数原理得到的实验曲线具有普适性。,1相似条件和相似结果,既适用于原型也适用于模型,B5.4.2 相似理论简介,用量纲分析法或方程分析法得到的数方程,当模型设计为（相似条件）,可得（相似结果）,2主数,相似理论(1)保证几何相似;(2)保证模型和原型流场的主数相
10、等;(3)就能保证模型和原型流场相似(4)并使其他相关数也相等。,相似条件中支配流动现象的主要数称为主数。,例如在粘性力占主导的流动中，Re数是主数；在重力占主导的流动中，Fr数是主数等。,例一：水面船既有粘性阻力也有水重力引起的兴波阻力。两个主数Re、Fr数都相等时为完全相似，但实际上做不到。,1、局部相似,设模型与原型满足几何相似：lm / l = k (几何比数)。,由Re数相等,由Fr数相等,为两式均满足,设k = 0.1,原型水 。为完全相似，模型液体应 。无法找到运动粘度如此低的液体。,工程上仍用水作模型液体，以Fr数为主数。测得兴波阻力后再作粘性修正，称为近似相似。,2、自模性,
11、存在一种实际流动：在一定条件下无需保证主数相等，模型与原型自动保持相似。称为自模性，,例如圆管流中当Re足够大后进入完全粗糙区,Re数不起作用。只要相对粗糙度相等阻力系数即相等。,穆迪图,求模型与原型相似的条件和结果。,解(1)推导数方程并确定主数。,例B5.4.2 矩形板粘性绕流,已知在风洞中用矩形模型板测量空气绕流阻力，模拟原型板在其他流体中的运动阻力。,有关的物理量,以 为基本量，用量纲分析法得数方程为,主数为Re。,(2)相似条件,(3)相似结果,几何相似(高宽比),主数相等,选择实验流体密度、粘度为m和m，实验速度应为,当两流场实现相似后阻力系数 必相等,原型阻力与模型阻力换算关系为,讨论(1)在风洞中对某高宽比矩形板作阻力测试。改变风速(Re数)测得一组数据。画出该板的阻力曲线CD = f1 (Re)，可推广到相同高宽比的其他矩形板。,(2)改变模型尺寸做系列实验，可得一簇矩形板阻力实验曲线 。这组无量纲实验曲线对矩形板绕流阻力问题具有普适性。,谢谢！,
