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1、第七章 圆轴扭转, 课题71 扭转概念和扭转内力 课题72 扭转应力和强度计算 课题73 扭转变形和刚度计算,课题71 扭转概念和扭转内力,3.切应力互等定理,切应变是直角的微小改变量， 因值很小， bb/dx=tan 。 单位为rad。,一、剪切胡克定律,2.剪切胡克定律,1. 切应变 在构件内部某点k处，取一微元体，剪切时剪切面发生了相对错动（如图示）。线段bb称为绝对剪切变形。相距单位长度的两截面相对错动量为相对变形，称为切应变 。,实验表明：当 P时，切应力与该点处的切应变成正比关系（图d)。即 =G （6-4） 式中G为材料的切变模量。,实验表明，构件内部相互垂直的截面上，切应力必成
2、对存在，且大小相等，同时指向或背离截面交线（图b、c示）。,（7-1） 式中，外力偶矩M（Nm）；功率p(kw) ;转速n(r/min),一、圆轴扭转实例与力学模型 图a中的传动轴AB，图b中水轮机的主轴等发生扭转变形。,圆轴扭转的受力特点：作用了一对等值、反向、作用平面平行的外力偶矩。变形特点：纵向线倾斜了角度，两端横截面绕轴线相对转动了一个角度，称为扭转角。,二、外力偶矩的计算,圆轴扭转的力学模型,将轴的受力进行简化，可以得到图示圆轴扭转的力学模型。,已知轴的转速n 和轴传递的功率p，则传递的外力偶矩为,四、扭矩图,三、扭转内力扭矩T,Mx(F)=0: T-M=0 T=M,图d为截面扭矩的
3、正负规定。,从截面法求扭矩可以得出以下 结论：两外力偶矩作用截面之间各个截面的扭矩值相等。,以图示圆轴扭转的力学模型为例，用截面法，以m-m截面将轴截分为两段。取其左段列力偶平衡方程可得,T为截面的内力偶矩，称为扭矩。同理，也可取右段求出截面扭矩。,画出扭矩随着截面坐标x的关系曲线,称为扭矩图。,Mx(F)=0: T-M=0 T=M,结论：由此得出求截面扭矩的简便方法：圆轴任意截面的扭矩T(x)，等于截面一侧(左段或右段)轴段上所有外力偶矩的代数和。,五、应用举例,解：1.求各段轴上的扭矩,BC段：用截面2-2截开轴，取左段,2.画出传动轴的扭矩图,例7-1 图示传动轴，输入外力矩M1=15k
4、Nm，输出的力偶矩为M2=6kNm ，M3=9kNm 。求各段横截面的扭矩并画出扭矩图。,AB段：用截面1-1截开轴，取左段,Mx(F)=0: T1+ M2=0,T1= -M2 =- 6kNm,Mx(F)=0: T2+M2- M1 =0,T1= -M2+ M1 =- 6+15=9kNm,2.求各段扭矩,解：1.计算外力偶矩,例7-2 图示传动轴，A轮输入功率PA=50kW，B、C轮输出功率PB=30kW，PC=20kW，轴的转速n=300r/min。1）画轴的扭矩图，并求Tmax。2）若将轮A置于B、C轮之间，哪种布置较合理？,4.将轮A置于B、C轮之间,画扭矩图(图c) 得| Tmax|2=
5、955kNm | Tmax|1,3.画传动轴的扭矩图(图b),AB段：T1= MA=1592kNm,BC段：T2= MA- MB=1592-955=637kNm,| Tmax|1=1592kNm,可见，后一种布置较前种布置合理。由此得出：在轮系的各种布置中，最大扭矩最小的布置为轮系的合理布置。,从轴的左端画起：,六、扭矩图的简便画法,将轮A置于B、C轮之间,画扭矩图,外力偶矩作用截面处,扭矩图有突变，突变幅值等于外力偶矩大小，突变方向沿外力偶矩箭头方向。,无外力偶矩作用的轴段上，扭矩保持常量。,-955kNm,637kNm,课后作业：工程力学练习册练习廿二,本课节小结 一、剪切胡克定律 切应变
6、相距单位长度的两截面相对错动的位移量。 剪切胡克定律 在剪切的弹性范围内，切应力与该点处的切应变成正比关系。 =G 切应力互等定理 构件内部相互垂直的截面上，切应力必成对存在，且大小相等，同时指向或背离截面交线。 二、外力偶矩的计算 三、扭转内力扭矩T 扭矩圆轴扭转时横截面的内力偶矩。 结论1：两外力偶矩作用截面之间各个截面的扭矩值相等。 结论2：圆轴任意截面的扭矩T(x)，等于截面一侧(左段或右段)轴段上所有外力偶矩的代数和。 四、扭矩图 轮系的合理布置在轮系的各种布置中，最大扭矩最小的布置。, 课题72 扭转应力和强度计算,1）各圆周线的形状、大小及间距不变，分别绕轴线转动了不同的角度。
7、2）各纵向线倾斜了相同角度。,一、扭转应力,2.平面假设 假定横截面变形时始终保持为平面。,推论：在平面假设的基础上，分析观察现象可推知，圆轴扭转变形时横截面象刚性平面一样，绕轴线相对转动。,1. 实验观察 在圆轴表面刻划出纵向线和圆周线。作用外力偶矩M，可以观察到圆轴扭转变形（图7b示）的如下现象：,（1）由于相邻截面间距不变，所以横截面上无正应力作用。,（2）由于横截面绕轴线转动了不同的角度，因此相邻横截面间就产生了相对转角d，即横截面间发生旋转式的相对错动，发生了剪切变形，故截面上有切应力存在。,从图a可看出，截面上距轴线愈远的点，相对错动的位移愈大，说明该点的切应变愈大。,最大切应力发
8、生在截面圆周边缘处，即=D/2时，其值为 (7-3),从变形几何关系和静力学平衡关系（证明从略）可以推知：横截面任一点的切应力与扭矩T成正比，与该点到轴线的距离成正比，与截面的极惯性矩Ip成反比，其切应力公式为: (7-2),4.切应力公式,二、极惯性矩和抗扭截面系数(推证计算见本章阅读与理解) 1.实心圆截面 设直径为D，则 2.空心圆截面 设外径为D，内径为d，取内外径之比d/D=。则,三、圆轴扭转的强度计算 扭转切应力强度准则 与拉（压）杆的强度计算一样，圆轴扭转时必须使最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 (7-4) 对于等截面圆轴，最大切应力一定发生在扭矩最大的截面上；而对于阶
9、梯轴，由于各段截面的WP不同，最大切应力因此需综合考虑W和T两个量来确定。,四、应用举例 例7-3某汽车的传动轴AB由45号无缝钢管制成。轴外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，传递最大力矩M=1.5 kN m， =60MPa。试：1）校核轴的强度，2）若改用同材料实心轴，要求和原轴强度相同，试设计其直径D1。3）比较实心轴和空心轴的重量。,解：1.校核强度 Tmax= 1.5kNm,2.设计实心轴的直径D1 由于实心轴和原轴的扭矩相同，当它们的强度相同时，则它们的抗扭截面系数相等即可，于是得,3.比较两轴重量 设实心轴重G1，空心轴G，那么重量比为。,轴的强度满足。,计算表明，等强度条件下，
10、空心轴比实心轴节省材料。,课后作业：工程力学练习册练习廿三,本课节小结,二、极惯性矩和抗扭截系数,三、圆轴扭转的强度计算,一、扭转应力 横截面任一点的切应力与扭矩T成正比，与该点到轴线的距离成正比，与截面的极惯性矩Ip成反比。,1.实心圆截面,2.空心圆截面, 课题73 扭转变形和刚度计算,一、圆轴扭转时的变形,实验表明：在剪切的弹性范围内，两端截面间的相对扭转角与扭矩T成正比，与轴长l成正比，与截面的极惯性矩Ip成反比。即,三、刚度计算的三类问题 应用圆轴扭转的刚度准则，可以解决三类问题，即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。,二、刚度计算 相对扭转角单位轴长的扭转角 。,扭转角两横截面绕轴线
11、相对转动过的角度。,(7-5) 式中 GIP称为圆轴的抗扭刚度。,刚度准则 圆轴扭转时，既要满足强度准则，还要求不产生过大的变形。即最大相对扭转角 不超过许用扭转角。得 (7-6),四、应用举例 例7-4 图示的传动轴，已知M1=640Nm，M2=840Nm，M3=200Nm，切变模量 G=80GPa，求截面C相对于A的扭转角。,解：1.求各段轴上的扭矩 AB段：T1= M1 =600Nm BC段：T2= M1- M2=-200Nm,3.求扭转角AC,2.画轴的扭矩图,例7-5图示传动轴，n=300r/min，输入力矩MC=955 Nm，输出MA=159.2 Nm，MB=318.3 Nm，MD
12、=477.5Nm，已知G=80GPa =40MPa， =1/m，试按强度和刚度准则设计轴的直径。,解：1.求各段轴上的扭矩,2.画轴的扭矩图,3.按强度设计轴径d,4.按刚度设计轴径d,所以，轴取公称直径d=45mm,AB段：T1= -MA =-159.2Nm,BC段：T2= -MA- MB=-477.5Nm,CD段：T2= -MA- MB+ MD=477.5Nm,由强度准则 得,由刚度准则 得,课后作业：工程力学练习册练习廿四,本课节小结,二、刚度计算,三、刚度计算的三类问题,一、圆轴扭转时的变形 扭转角两横截面绕轴线相对转动过的角度。,刚度准则,应用圆轴扭转的刚度准则，可以解决三类问题，即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。,
