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1、山东省2016年普通高校招生(春季)考试数学试题注意事项:1.本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分。满分120分,考试时间120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。2.本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目,除题目有具体要求外,最后结果精确到0.01。卷一(选择题,共60分)一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出,并填涂在答题卡上)1.已知集合,则等于 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,所以.2.已知集合A,B,则“”是“”的 ( )A.充分不必要条
2、件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】又,“”是“”的必要不充分条件.3.不等式的解集是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】,即不等式的解集为.4.若奇函数在上的图像如图所示,则该函数在上的图像可能是( )第4题图GD21 GD22 GD23 GD24 GD25 【答案】D【解析】因为已知是奇函数,根据奇函数的性质是关于原点对称,根据选项只能选D.5.若实数a0,则下列等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】A中,B中,C中,故D选项正确.6.已知数列是等比数列,其中,则该数列的公比q等于 ( )A. B.2 C.4 D
3、.8【答案】 B【解析】 ,则q=2.7.某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生,若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛,要求既有男生又有女生,则不同选法的种数是( )A.60 B.31 C.30 D.10【答案】C【解析】由题知,有两种选法两名男生一名女生种,两名女生一名男生种,所以一共有种.8.下列说法正确的是( )A.函数的图像经过点(a,b)B.函数(a0且a1)的图像经过点(1,0)C.函数(a0且a1)的图像经过点(0,1)D.函数()的图像经过点(1,1)【答案】D【解析】A中,函数的图像经过点(-a,b);B中,函数(a0且a1)的图像经过点(0,1);C中,函数(a0
4、且a1)的图像经过点(1,0);D中,把点代入,可知图象必经过点.9.如图所示,在平行四边形OABC中,点A(1,2),C(3,1),则向量的坐标是( )第9题图GD26A.(4,1) B.(4,1) C.(1,4) D.(1,4)【答案】A【解析】A(1,2),C(3,1),又,.10.过点P(1,2)与圆相切的直线方程是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】将点代入圆方程,可知点在圆上,又因为将点代入C,D等式不成立,可排除C,D,又因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,又圆心为(0,0),半径为,即圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,则只有B符合.11.表中数据是我国
5、各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率,由表可知,从2011年到2014年,消费量占比增长率最大的能源是( )A.天然气 B.核能 C.水利发电 D.再生能源表 我国各种能源消费的百分率原油(%)天然气(%)原煤(%)核能(%)水利发电(%)再生能源(%)2011年17.74.570.40.76.00.72014年17.55.666.01.08.11.8【答案】D【解析】 根据表1可知,从2011年到2014年,天然气:,核能:,水力发电:,再生能源:,则消费量占比增长率最大的能源是再生能源. 12.若角的终边过点,则角的终边与圆的交点坐标是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】因
6、为,所以长度为,设交点为,又因为圆的半径为,因此有,又因为终边在第二象限,所以选A.13.关于x,y的方程和在同一坐标系中的图象大致是( )GD27GD28 GD29GD30【答案】D【解析】 当的图象为椭圆时,则的图象单调递增,且与y轴的截距大于0,A、B均不符;当的图象为双曲线时,当时,双曲线的焦点在y轴上,的图象单调递减,且与y轴的截距大于0;当时,双曲线的焦点在x轴上,的图象单调递增,且与y轴的截距小于0,综上所述,选项D正确.14.已知的二项展开式有7项,则展开式中二项式系数最大的项的系数是( )A.280 B.160 C.160 D.560【答案】B【解析】 的二项展开式有7项,又
7、展开式中二项式系数最大的项为第4项,则,则其系数为.15.若有7名同学排成一排照相,恰好甲、乙两名同学相邻,并且丙、丁两名同学不相邻的概率是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列,有种排列方法,将甲乙作为一个整体,除去丙丁将其他人进行全排列,有种排列方法,再利用插空法将丙丁进行插空,有种排列方法;总共有种排列方法,所以概率为. 16.函数在一个周期内的图像可能是( )GD31GD34 GD32GD33 【答案】A【解析】B选项中当,C选项中当时,D选项中,当.17.在中,若,则等于( )A. B. C.2 D.2【答案】C【解析】因为,所以是等边三角
8、形,所以各个角均为,.18.如图所示,若满足约束条件则目标函数的最大值是( )第18题图 GD35A.7 B.4 C.3 D.1【答案】B【解析】 由图可知,目标函数在点(2,2)处取得最大值,即.19.已知表示平面,表示直线,下列结论正确的是( )A.若则 B.若C.若 D.若16.D【解析】A,B,C选项,直线l与m相交、平行、异面都有可能;D选项,存在一个平面,使得且,.20.已知椭圆的焦点分别是,点在椭圆上,如果,那么点到轴的距离是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 椭圆,即,设点的坐标为,又,点又在以原点为圆心,半径为2的圆上,圆方程为,即,又,联立得,点到轴的距离是.
9、卷二(非选择题,共60分)二、填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上)21.已知,则的值是 .【答案】【解析】分式上下同除以得,把代入得原式=2.22.若表面积为6的正方体内接于球,则该球的表面积等于 .【答案】【解析】设正方体的边长为,则边长为,所以正方体上下两个面的斜线长为,则圆的直径为,.23.如果抛物线上的点M到y轴的距离是3,那么点M到该抛物线焦点F的距离是 .【答案】【解析】因为抛物线上的点M到y轴的距离是3,所以点的横坐标为3,再将代入得到,所以点,又因为,准线,则点M到该抛物线焦点F的距离是5.24.某职业学校有三个年级,共有1000名
10、学生,其中一年级有350名,若从全校学生中任意选出一名学生,则恰好选到二年级学生的概率是0.32.现计划利用分层抽样的方法,从全体学生中选出100名参加座谈会,那么需要从三年级学生中选出 名.【答案】33【解析】恰好选到二年级学生的概率是0.32,恰好选到一年级学生的概率是0.35,则选到三年级学生的概率是1-0.35-0.32=0.33,那么需要从三年级抽取1000.33=33人.25.设命题p;函数在上是减函数;命题q:.若是真命题,是假命题,则实数a的取值范围是 .【答案】或【解析】 是真命题,是假命题,pq同为真或pq同为假,当pq同为真时,函数在上是减函数,函数的对称轴为,即,即恒成
11、立,设,即,则;同理,当pq同为假时,或,综上所述得,实数a的取值范围为或.三、解答题(本大题5小题,共40分)26.(本小题6分)已知某城市2015年底的人口总数为200万,假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素).(1)若经过x年该城市人口总数为y万,试写出y关于x的函数关系式;(2)如果该城市人口总数达到210万,那么至少需要经过多少年(精确到1年)?【解】(1)由题意可得;(2)如果该城市人口总数达到210万,则,那么至少需要经过5年.27.(本小题8分)已知数列的前n项和.求:(1)第二项;(2)通项公式.【解】(1)因为,所以,所以.( 2 ),.28.(本小题8分)如
12、图所示,已知四边形ABCD是圆柱的轴截面,是下底面圆周上不与点重合的点.(1)求证:平面DMB平面DAM;(2)若是等腰三角形,求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值.GD36 第28题图【解】(1)是下底面圆周上不与点重合的点,在一个平面上, 又四边形是圆柱的轴截面,边过圆心,平面,根据定理以直径为斜边的三角形为直角三角形,所以,平面,且,平面,又平面,平面平面.(2)设底面圆的半径为,圆柱的高为,又是等腰直角三角形,所以两个直角边长为,所以,所以,所以.29.(本小题8分)如图所示,要测量河两岸P,Q两点之间的距离,在与点P同侧的岸边选取了A,B两点(A,B,P,Q四点在同一平面内),并测得
13、AP=20m,BP=10m,.试求P,Q两点之间的距离.SH17 第29题图【解】 连接AB,又,AP=20m,BP=10m,则,则,又,在中,由正弦定理得,即,在中,由余弦定理得,P,Q两点之间的距离为米.30.(本小题10分)如图所示,已知双曲线的中心在坐标原点O,焦点分别是,且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2.(1)求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程;(2)若直线l经过双曲线的右焦点,并与双曲线交于M,N两点,向量是直线l的法向量,点P是双曲线左支上的一个动点.求面积的最小值.GD39第30题图【解】(1)根据题意设双曲线的标准方程为,双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2,即,则该双曲线的标准方程为,离心率,渐近线方程为;(2)向量是直线l的法向量,直线的斜率,又直线l经过双曲线的右焦点,即直线l的方程为,设,又双曲线的方程为,即,则,要使面积的最小值,即点P到直线l的距离最小,则点P坐标为,则.