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1、物理竞赛模拟 （一）一、（15分）在竖直平面内将一半圆形光滑导轨固定在、两点，导轨直径，与竖直方向间的夹角为，在导轨上套一质量为的光滑小圆环，一劲度系数为的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系于、两点，如图所示，当圆环位于点正下方点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从点无初速度释放，圆环在时刻运动到点，与半径的夹角为。重力加速度为。试分别对下述良好总情形，求导轨对圆环的作用力大小；1. ；2. 。二、（15分）如图，在水平地面上有一质量为、长度为的小车。车内两端靠近底部处分别固定两个轻弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为和，劲度系数分别为和；两弹簧的另一端前分别放着一个质量为、的小球，弹簧与小
2、球都不相连。开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长。现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的；从释放小球1至弹簧2达到最大压缩量时，小车移动了距离。试求开始时弹簧1的长度和后来弹簧2所达到最大压缩量。三、（20分）某空间绕地球作圆周运动，轨道半径为。一人造地球卫星在同一轨道平面内作圆周运动，轨道半径为，和均沿逆时针方向运行，现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收卫星。为零节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，
3、飞船在往返过程中均采用同样形式的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行，往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且其近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的圆轨道上，如图所示。已知地球半径，地球表面重力加速度。试求：1飞船离开空间站进入椭圆转移轨道所必须的速率增量，若飞船在远地点恰与卫星相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速率增量。2.按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要时间，空间站至少需绕地球转过的角度。忽略飞船在变轨过程中所用的短暂时间及在此相应时间内绕地球转过的角度。四、（15分）摩尔质量为的某种理想气体，从左向右流过一内壁光滑的长直水平绝热导管，导管内横截面的
4、面积为。1摩尔绝对温度为的该气体的内能为，式中为普适气体常量。1将一加热装置固定放置在管的中部，以恒定功率给气体加热，如图1所示。假设该装置对气流的阻力可忽略。当气流稳定后，在加热装置附近的状态不均匀，但随着与加热装置距离的增加而逐渐趋于均匀。在加热装置左边均匀稳流区域中，气体的压强为，温度为，向右流动的速度为。已知加热装置右边均匀稳流趋于中气体的压强为，试求该区域气体的温度。2现将管中的即热装置换成一多孔塞，如图2所示。在气流稳定后，多孔塞左边气体的温度和压强分别和，向右流动的速度为；多孔塞右边气体的压强为（）。假设气体在经过多孔塞的过程中与多孔塞没有任何形式的能量交换，求多孔塞右边气体的流
5、速。五、（15分）如图，一个三棱镜的顶角小于。假设光线在纸面内以任意入射角入射到面上的点，经一次折射后，有入射到面上，且都能在面上发生全反射，已知光线在面上发生全反射的临界角为，边足够长。试在下列两种情形下分别求三棱镜顶角的取值范围：1.如果光线仅从面上法线的下方入射；2.如果光线仅从面上法线的上方入射。 六、（20分）一电荷量为的电荷产生的电场在距离它为处的电场强度的大小为，式中为常量；一条长直导线中通有电流时，它所产生的磁场在与导线相距为（远小于长直导线的长度）处的磁感应强度的大小为，式中也为常量。上述两常量比值为平方根可用如图所示的实验装置，荣国低频（约几百）的电场和磁场来测定。图中、表
6、示水平放置的、电容为的平行板电容器的极板，极板为正方形，边长为（极板间距为）。极板固定，极板悬挂在天平臂一端的挂钩上。、为两根水平放置的平行长直金属细杆，长度均为，两杆间的距离为。杆固定，杆悬挂于天平臂的另一端挂钩上。为一个一直电容器的电容，是电键。交流电源的电压与时间的关系为，其中表示交流电的频率。各部分通过导线如图连接。已知在电键打开时，天平已调节平衡，接通电源后，天平将失去平衡，通过调节交流电源的频率，可使天平重新达到平衡（注意：由于天平具有惯性，实际上是交流电的平均效果使天平平衡）。试求的表达式。图中的双线可视为刚性绝缘杆，单实线为导线，曲线表示柔软无质量的导线。不考虑电场、磁场的边缘
7、效应，不考虑导线磁场对和的影响。七、（20分）两个劲度系数均为的相同的轻质金属弹簧，上端固定在水平绝缘弹簧杆上，竖直下垂，下端与一质量为的匀质刚性金属连接，金属杆的长度为，杆长与两端弹簧的间距相等。将金属杆置于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向内。杆、弹簧和交流电源构成一闭合电路，金属杆和弹簧的电阻可忽略；且回路电流的磁场远弱于外磁场，如图1所示，在图2中，一自感和一电容并联后接到同样的交流电源上。若在图1和图2所示的两回路中，在任何时刻，通过电源的电流都一样，试将图2中电容和自感用图1中的装置的已知参量表示。八、（20分）朱棣文等三位科学家因成功实现中性原子的磁光俘获而获得了19
8、97年物理学奖。对以下问题的研究有助于理解磁光俘获的机理（注意：本问题所涉及的原子的物理特性参数，实际上都是在对大量原子或同一原子的多次同类过程进行平均的意义上加以理解的）。1.已知处于基态的某静止原子对频率为的光子发生共振吸收，并跃迁到它的第一激发态（见图1）。然而，由于热运动，原子都处于运动中，假设某原子以速率运动，现用一束激光迎头射向该原子，问恰能使该原子发生共振吸收的激光频率为多少？经过共振吸收，该原子的速率改变了多少？（，是原子质量，）2.原子的共振吸收是瞬时的，但跃迁到激发态的原子一般不会立即回到基态，而会再激发态滞留一段时间，这段时间被称为该能级的平均寿命，已知所考查原子的第一激
9、发态的平均寿命为。若该原子能对迎头射来的激光连接发生共振吸收，且原子一旦回到基态，便立即发生共振吸收，如此不断重复，试求该原子在连接两次刚要发生共振吸收时刻之间的平均加速度。注意：原子从激发态回到基态向各个方向发出光子的机会均等，由于碰撞频率极高，因而由此引起原子动量改变的平均效果为零。3.设所考查的原子以初速度沿轴正向运动，一激光束沿轴负向迎头射向该原子，使它发生共振吸收。在激光频率保持不变的条件下，为了使该原子能通过一次接着一次的共振吸收而减速 至零，必须相应地改变原子能级，为此可让该原子通过以非均匀磁场，实现原子的磁光俘获，如图3所示，由于处于磁场中的原子与该磁场会发生互相作用，从而改变
10、原子的激发态能量（见图2），当磁感应强度为时，原来能量为的能级将变为，其中，是已知常量，试求磁感应强度随变化的关系式。4.设质量为的锂原子初速度，静止时的共振吸收频率为，第一激发态的平均寿命，为使所考察的原子按3中所描述的过程速度减至零，原子通过的磁场区域应有多长？物理竞赛模拟（一）答案一、参考解答：1.设弹性绳在时刻的伸长量为，弹性绳的张力为，小圆环的高度为。当时，小圆环受到导轨的正压力为、竖直向下重力和弹性绳的沿和两个方向的张力，见图1，根据几何关系有 （1）这说明绳是张紧的。（2）根据牛顿定律，这时有（3）式中，是小圆环此刻运动速度的大小，小圆环在下降过程中机械能守恒（4）根据胡克定律有
11、（5）（6）2.当时，弹性绳的伸长量为（7）弹性绳处于松弛状态，小圆环受力如图2所示，根据牛顿定律有（8）整个过程机械能守恒，有（9）由几何关系得（10）由（8）、（9）、（10）式得（11）评分标准：本题15分第一问8分，（1）（2）式各1分，（3）式2分，（4）（5）式各1分，（6）式2分；第二问7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）（10）式各1分，（11）式2分。二、参考答案：以地面为参考系，取水平向左为正方向，由题意。在小球1从释放至运动到与小球2刚好接触的过程中，小球1、2与小车作为一个整体，总能量与总动量守恒，故（1）（2）式中，和分别表示在小球1、2刚好接触时小球1和小车的运
12、动速率。考虑从小球1和2相碰至两个小球合为一体时的碰撞过程，由于碰撞时间极短，弹簧2还没有来得及被压缩，可忽略弹簧2的弹力，此过程中，小球1和2作为一个整体动量守恒。故（3）式中，表示在碰后的瞬间小球1和2的共同速率。当弹簧2大盗贼最大压缩时，小球1、2与小车三者相对静止，由动量守恒与系统总动量为零可知，这是小车相对地面的速度为零。从小球1和2刚好合为一体时至弹簧2达到最大压缩的过程中，系统动量守恒，故（4）联立（1）至（4）式得（5）考虑从小球1释放至弹簧2达到最大压缩的全过程。小球、弹簧及小车作为一个整体，所受到的合外力为零，系统质心的位置在整个过程中应当保持不变，即（6）联立（5）和（6
13、）式得（7）（8）评分标准：本题15分（1）（2）（3）（4）式各2分，（6）式3分，（7）（8）式各2分三、1.设空间站和卫星的速度大小分别为和，则由牛顿引力定律得（1）（2）式中，和分别是飞船和地球的质量，和分别是地球表面上的某一物体的质量和重力加速度，由（1）与（2）式得（3）同理有（4）飞船进入椭圆转移轨道后，其机械能为（5）式中，是椭圆轨道的长轴，由集合关系有（6）设飞船在近地点和远地点处的速度大小分别为和，则（7）由（1）和（7）式得（8）同理，有（9）由（3）、（8）式和题给条件得（10）由（4）、（9）式和题给条件得（11）2.设空间站、卫星和飞船的运动周期分别为、和，根据开普
14、勒第三定律有（12）式中（13）飞船从到过程所用的时间为（14）经时间和无相对运动的捕获后，飞船和卫星同时到达远地点并开始以相同速率和半径作圆周运动，此时空间站绕地球转过角度，位置如图1所示，且（15）可见，飞船经历了椭圆轨道半个周期后，空间站相对于飞船超前了（16）如果想选择一个合适的时刻，开始使捕获了卫星的飞船经短暂减速后，沿同样形状的椭圆轨道在近地点和空间站相遇。如图2所示，则与飞船必须处于这样的相对位置，即空间站须超前飞船， （17）设从飞船捕获了卫星时刻算起，经时间后运动到上述相对位置，则应满足（18）由（3）、（12）、（13）、（15）、（17）和（18）式得（19）由（3）、（12）、（13）、（14）和（19）式得，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间为（20）空间站绕地球转过的响应的角度为（21）评分标准：本题20分第一问10分，（1）（2）（5）（6）式各1分，（7）（10）（11）式各2分；第二问10分，（12）（13）（14）式各1分，（18）式3分，（20）（21）式各2分四、参考解答：1.考虑管的横截面积和之间的气体，其中横截面和都位于气体的均匀稳流区域内；经过时间，该气体的左右边界分别运动到管的横截面和处。如图1所示，适当选取时间间隔
