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1、第六章 非正弦交流电路导言当电路的输入是直流电源时，对由电阻构成的直流电路，应采用直流分析方法；当输入是单一频率的正弦源时，且电路处于稳态时，对正弦稳态电路所构成的相量模型应采用相量法进行分析；当电源频率变化时，可列写网络函数或绘制频率特性曲线，来分析电路的频率响应，这是前一章，即第五章所介绍的内容。由第五章例5-6，引出了一个新任务：当输入既不是直流，也不是正弦交流电源时，例如输入是一个周期性三角波电压源时，对电路分析所应采用的方法：应先对该电压波形的频率成份做出明晰分析，并将该输入等效为频率、幅值及相位均是已知量的一系列电压源的叠加，然后针对每个电压源用相量法进行分析（已经学习了的内容），
2、这是本章将学习的内容。在讲授方法上，首先介绍一个周期波可以由一组正弦波合成的概念，并引出用傅立叶级数对电路分析应用的概念；然后重点介绍对非正弦交流电路的计算方法、对有功功率和有效值的计算公式等重要内容。学习目标 1. 理解周期函数的傅立叶级的表达式及含义。2. 理解非正弦交流电路相量与瞬时值之间的关系：当已知电路的电源频率、各次谐波的输出电压或电流相量值时，会正确写出其瞬时表达式。3. 当已知电压或电流的傅立叶级数表达式时，掌握对电压或电流有效值、有功功率的计算方法。4. 了解傅立叶变换的公式及含义。6-1 周期函数的傅立叶级数 在第五章最后一个例题中,引出了一个需对电压波形进行傅立叶变换分析
3、的例子,其目的是分析出构成电压信号频率的成份，然后应用低通滤波电路，除去其所含的高频干扰信号，得到一个“干净”的输出电压。傅立叶变换及其应用，是本章将学习的重点内容。先介绍周期函数的展开及合成的概念。图6-1(a)是四个独立的正弦波，它们的表达式分别为a(t)=2.55sin(12pt)、b(t)= -28310-3 sin (32pt)、c(t)=101.8610-3sin(52pt)以及d(t)= -51.9710-3sin(72pt) ，在图中分别以a、b、c、d标注。 图6-1 波形图现进行波形合成：设电压波形f1(t)、f2(t)、f3(t) 和f4(t)分别是由波形a(t)、b(t
4、)、c(t)、和d(t)合成的，具体关系为：f1(t) = a(t)、f2(t)= a(t)+ b(t)、f3(t) = a(t)+ b(t)+ c(t)、f4(t)= a(t)+ b(t)+ c(t) + d(t)，如图6-1(b)所示。注意：从f1至f4，随着波形合成时所叠加波形数目的增加，最终波形f4(t)逐渐接近幅值为3.14（伏特）, 周期为1秒的三角波。由此看出，正弦波a(t)、b(t)、c(t)、和d(t)与周期性非正弦波f4(t)有着密切联系。由数学分析方法可知：在一般情况下，任意一个周期函数f(t)，可以由正弦波所构成的“正交函数系”展开为不同频率的正弦波叠加形式，如上例周期
5、性非正弦波f4(t) 可以展开成不同频率的正弦波a(t)、b(t)、c(t)、和d(t) 的叠加形成；而这四个正弦波属于一个“正交函数系”。反之，一组“正交函数系”中不同频率的正弦波，若以恰当的形式组合，可以合成一个周期波；如上例正弦波a(t)、b(t)、c(t)、和d(t) 叠加形式的组合，构成了f4(t)这个周期性非正弦波。若f(t)的周期为T, 则称w1=2p/T为基波角频率，该正弦波可以构成一个正交函数系，其结构为：1, cosw1t, cos2w1t, cos3w1t，sinw1t, sin2w1t, sin3w1t, 其中，称cosw1t、sinw1t为基波, cos2w1t、si
6、n2w1t为二次谐波，cos3w1t、sin3w1t为三次谐波等等。注意：“谐波”也是正弦波；k次谐波是指该正弦波的频率是基波频率的k倍。该正交函数系有以下性质：（6-1）周期性函数f(t)（周期为T)，在区间-T/2,T/2上的傅立叶级数展开式（三角形式）为 （6-2） 其中，ak, bk为傅立叶级数的系数，它们分别定义为 （6-3） 系数a0/2项是f(t)在一周期内的平均值。例如以f(t)代表电流，则平均值a0/2就是该电流中的直流电流分量。 参考内容 1. 由于函数的周期性, 上式的积分区间也可选择为0,T。 2在一般情况下，就电路分析中所遇到的实际电流、电压及功率周期性波形而言，一般
7、均能保证展开式的收敛性，即(6-2)、(6-3) 式是成立的。3周期性函f(t)的傅立叶级数展开式由(6-2)式表达。在式中，系数ak, bk由公式直接由(6-3)式定义。得到(6-3)式的纯数学推导过程十分繁杂，略去；在这里仅说明其合理性。例如计算(6-2)式中系数ak(k=1,2,3。)中的某一项，如an , 则可用cos(ncosw1t)乘以(6-2)式两边并积分，同时注意到函数的正交性（(6-1)式），可计算出an经移项，即是(6-3)表达式中ak的一项（k=n）。周期波可以用傅立叶级数来表达，这是以上内容讲述的重要概念；有了这个概念，下面就可以对实际电路进行分析。思考与练习6-1-1
8、 何为“正交函数系”？何为“基波”？、“二次谐波”、“三次谐波”？6-1-2 写出傅立叶级数展开式（三角形式）表达式。傅立叶级数的系数a0/2项有何含义？6-2 非正弦交流电路的计算通过一个具体电路计算实例，说明对非正弦电路的分析的思路和方法。 例6-1 电路图如图6-2(a)所示，输入电压源us(t)为幅值为3.14伏，周期为1千赫兹的三角波。试对该非正弦电路进行分析，计算出输出电压的瞬时表达式ub(t) 。（注：本章的电路图及其计算结果，包括波形图，均由电路仿真软件Tina Pro 完成） (b) 图6-2 (a)(c) 例6-1图解电路的输入电压us(t)，是一个（周期性）三角波，其幅值
9、为Us=3.14V, 频率为f1=1kHz，或周期为T=1/ f1=1/1000=1m，其瞬时波形图见图（b）：横坐标时间单位是毫秒(ms)，纵坐标电压单位是伏特。注意：由于输入是三角波电压信号，故前面所学习过的电路分析知识，如对直流电路的分析法或对正弦交流电路分析的相量法，均不能直接用于对该电路的分析。解决问题的思路是：将该三角波输入电压，展开成一组不同频率的正弦电压的叠加形式；这样，对每一个输入的正弦电压，就可以用已经熟知的相量法求出电路的输出。最后，再将这些输出以瞬时值的形式叠加起来，可得到最终的输出电压的瞬时表达式。具体分析和计算过程如下：第一步：将us(t)表达为傅立叶级数展开式，求
10、出傅立叶系数ak 、bk 。用（63）式求解傅立叶级数系数ak 、bk ，一般要涉及较为复杂的定积分运算，手工计算的工作量很大。对典型输入波形的傅立叶系数，可以由查表得出。具有工程实际应用价值的电路分析方法是采用电路仿真软件，将周期性三角波电压us(t) 展开为傅立叶级数，并以表格形式给出明晰的傅立叶系数，如图(c)所示。在图(c)中，傅立叶系数ak 与“幅度A”、系数bk 与“幅度B”相联系。表格中某些项含后缀因子“f”，其含义是10-150。在上表格中，例如在k=1（k=1指基波，也即us(t)的频率，是1000赫兹）条件下，傅立叶级数系数a1=-512.45f=-512.4510-150
11、，b1=2.55；根据（6-2）式，可以直接得出基波频率下输出电压us1(t)表达式，即us1(t)= a1cos(10002pt)+ b1sin(10002pt)=0cos(10002pt)+2.55sin(10002pt)V第二步：由傅立叶系数ak 、bk，按（6-2）式写出各次谐波表达式：us1(t)=2.55sin(10002pt)V, 基波 （k=1）us3(t)= -28310-3 sin (30002pt)V ，三次谐波（k=3）us5(t)=101.8610-3sin(50002pt)V ，五次谐波（k=5）us7(t)= -51.9710-3sin(70002pt)V , 七
12、次谐波（k=7）注意，（1）偶次谐波（k为偶数）的叶级数系数计算值为零。（2）由于傅立叶级数展开式具有收敛性，故高次谐波的叶级数系数（k值大的项）值很小；换言之，此例中可以用us1(t) us7(t)的叠加形式，即以七个正弦波us1(t) us7(t)分别作为输入电压信号，来等效周期性三角波电压us(t)对电路产生的激励作用；此时可以将高于7次谐波的谐波电压（us8(t)）忽略不计，这是因为它们的幅值已经很小，而且越来越小，于是对电路产生的激励作用微不足道。第三步：对各次输入谐波电压的电路，进行分别计算，得到相应的输出电压的瞬时表达式，并将它们叠加起来，于是可产生最终的输出电压的瞬时表达式。方
13、法一 相量法对（a）图电路,设为电源相量，为输出电压相量；记等效阻抗为Zp=(R2+ jwL) / (1/ jwC)由分压公式，可写出其电压转移函数，得H(jw)=Av= /= Zp / (R1+ Zp) R2在基波（w1=1000 rad/s）、三次谐波（3w1=3000 rad/s）、五次谐波（5w1=5000 rad/s）和七次谐波（7w1=7000 rad/s）输入条件下，对其正弦稳态电路用相量法分别计算：将不同的w值（w1、3w1、5w1、7w1）代入电压转移函数H(jw)中，计算出其相应的函数值（复数）；然后再乘以相应的输入电压的相量值，即得到各输出电压的相量值；再根据所对应的频率
14、值写出它们瞬时表达式；最后将这些瞬时表达式叠加，得到最终的输出电压的瞬时表达式ub(t) 。可以预知，若用手工计算，过程将是十分繁杂。方法二 应用电路仿真软件直接对电路计算例如对输入信号为基波us1(t)、三次谐波us3(t) 和五次谐波us5(t)的电路，用电路仿真软件计算的输出电压的幅值及相位分别如图(d)、（e）、（f）所示：图6-2 (d)(f) 例6-1图将这些由软件计算出的数据转换为相量形式，得到 =106.68(-155.130)mV、=1.33(8.130)mV、=0.172(-175.130)mV由相量值及所对应的各次谐波的频率值，可写出输出电压瞬时表达式，得ub1(t)= 106.68sin(10002pt-155.130)mV、ub3(t)= 1.33sin(30002pt+8.130) mV、ub5(t)= 0.172sin(50002pt-175.130)mV 。最后，进行叠加，到输出电压的瞬时表达式，即ub(t)= 106.68sin(10002pt-155.130)+ 1.33sin(30002pt+8.130) + 0.172sin(50002pt-175.130)mV
