《2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1.2 应用举例（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1.2 应用举例（一） （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标 利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题 知识点一 基线的定义 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确 度越高 知识点二 有关的几个术语 (1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线 所形成的水平角如图所示的 1，2即表示点 A 和点 B 的方位角故 方位角的范围是0，360) (2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90的水平 角，它是方位角的另一种表示形式如图，左图中表示北偏东 30，右图中表示南偏西 60. 思考 上两图中的两个方向，用方位角应表示为 30(左图)，24
2、0(右图) (3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角 知识点三 解三角形应用题 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过 解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题 (1)解题思路 (2)基本步骤 分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立 一个解三角形的数学模型； 求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； 检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解 (3)主要类型 题型一 测量从一个可到达点
3、到一个不可到达点之间的距离 例 1 海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B，C 间的距离是( ) A10 海里 B. 海里 3 10 6 3 C5 海里 D5 海里 26 答案 D 解析 根据题意，可得右图 在ABC 中，A60，B75，AB10， C45. 由正弦定理可得， AB sin C BC sin A 即， 10 2 2 BC 3 2 BC5(海里) 6 反思与感悟 求距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则先把未 知量放在另一
4、确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 跟踪训练 1 如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸标记物 C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_ m. 答案 60 解析 由题意知，ACB180307575， ABC 为等腰三角形 河宽即 AB 边上的高，这与 AC 边上的高相等， 过 B 作 BDAC 于 D， 河宽BD120sin 3060(m) 题型二 测量两个不可到达点间的距离 例 2 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事基地 C 和 D 测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处
5、和 B 处，且 3a 2 ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所 示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离 解 ADCADBCDB60， 又DCA60，DAC60. ADCDACa. 3 2 在BCD 中，DBC45， ，BCa. BC sin 30 CD sin 45 6 4 在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos 45 a2 a22aa 3 4 3 8 3 2 6 4 a2. 2 2 3 8 ABa. 6 4 蓝方这两支精锐部队之间的距离为a. 6 4 反思与感悟 测量两个不可到达的点之间的距离问题时，首先把求不可到达的两点 A，B 之 间的距离转化为应用
6、正、余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正、余弦 定理计算其他边 跟踪训练 2 如下图，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距 20 米的 C，D 两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA 60，那么此时 A，B 两点间的距离是多少？ 解 由正弦定理得 AC 20sin（4560） sin180（304560） 10(1)(米)， 20sin 105 sin 45 20sin 75 sin 453 BC 20sin 45 sin180（603045） 20(米) 20sin 45 sin 45 在ABC 中，由余弦定理得 AB10(米) AC2BC22
7、AC BCcosBCA6 A，B 两点间的距离为 10米 6 1如图，在河岸 AC 测量河的宽度 BC，测量下列四组数据，较适宜 的是( ) A，c， Bb，c， Cc， Db， 答案 D 解析 a，c 均隔河，故不易测量、测量 b，更合适 2一艘船上午 930 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 30的方向，且与它相距 8海里， 2 之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 1000 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75的方向，此船的航速是( )海里/小时 A8() B8() 6262 C16() D16() 6262 答案 D 解析 由题意得在三角形 SAB 中，BAS30，
8、 SBA18075105，BSA45. 由正弦定理得， SA sin 105 AB sin 45 即，得 AB8()， 8 2 sin 105 AB sin 4562 因此此船的航速为16()(海里/小时) 8（ 6 2） 1 262 32012 年 10 月 29 日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区 的搜救现场，一条搜救犬从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现 一个生命迹象，然后向右转 105，行进 10 m 到达 C 处发现另一生 命迹象，这时它向右转 135后继续前行回到出发点，那么 x_ m. 答案 10 6 3 解析 由题意CBA75，BCA45， BAC1807
9、54560， ，x(m) x sin 45 10 sin 60 10 6 3 4我舰在岛 A 南偏西 50相距 12 海里的 B 处发现敌舰正从岛 A 沿北偏西 10的方向以每 小时 10 海里的速度航行，若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度为_海里/时 答案 14 解析 由题可得右图 不妨设我舰追上敌舰时在 C 点 则 AC20，BAC120，AB12， BC212220221220cos 120282，BC28， 速度 v14(海里/时) 28 2 1.解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余 弦定理求解 (2)实际问
10、题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这 些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从 几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解 2测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离 (2)测量两个不可到达点之间的距离 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图 1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点 A，B 之间的距离转化为应用正弦定理求三 角形边长的问题，然后把 BC，AC 转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题 (如图 2)
