《2018版高中数学人教版A版必修五学案：§3.2 一元二次不等式及其解法（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教版A版必修五学案：§3.2 一元二次不等式及其解法（二） （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产 中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法 知识点一 分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型同解不等式 0(0) f（x） g（x） 法： 或 f（x）0（0） g（x）0 ) f（x）0（0） g（x）0 ) 法： f(x)g(x)0(0) 0(0) f（x） g（x） 法： 或 f（x） 0（ 0） g（x）0 ) f（x） 0（ 0） g（x）0 ) 法： f（x）g（x） 0（ 0） g（x） 0 ) a f（x） g（x） ( a
2、 a a) 先移项转化为上述两种形式 知识点二 简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f(x)0 常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是： (1)将 f(x)最高次项的系数化为正数； (2)将 f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不 过，奇重根既穿又过)； (4)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集 思考 (x1)(x2)(x3)2(x4)0 的解集为_ 答案 x|1x2 或 x4 解析 利用数轴穿根法 知识点三 一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等
3、式恒成立问题，可有以下两种思路： (1)转化为一元二次不等式解集为 R 的情况，即 ax2bxc0(a0)恒成立 a0， 0.) ax2bxc2 答案 A 解析 x2x1 0，原不等式 (x 1 2) 2 3 4 x22x20(x2)20， x2.不等式的解集为x|x2 题型二 解一元高次不等式 例 2 解下列不等式： (1)x42x33x20； (2)1xx3x40； (3)(6x217x12)(2x25x2)0. 解 (1)原不等式可化为 x2(x3)(x1)0， 当 x0 时，x20， 由(x3)(x1)0，得1x3； 当 x0 时，原不等式为 00，无解 原不等式的解集为x|1x3，且
4、 x0 (2)原不等式可化为(x1)(x1)(x2x1)0， 而对于任意 xR，恒有 x2x10， 原不等式等价于(x1)(x1)0， 原不等式的解集为x|1x1 (3)原不等式可化为(2x3)(3x4)(2x1)(x2)0， 进一步化为(x2)0， (x 3 2)(x 4 3)(x 1 2) 如图所示，得原不等式的解集为 . x|x 1 2或 4 3x 3 2或x2 反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考 虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法 跟踪训练 2 若不等式 x2pxq0 的解集是x|1x2，则不等式0 的解集 x2p
5、xq x25x6 是( ) A(1，2) B(，1)(6，) C(1，1)(2，6) D(，1)(1，2)(6，) 答案 D 解析 由题意知 x2pxq(x1)(x2)，则待解不等式等价于(x1)(x2)(x25x6) 0(x1)(x2)(x6)(x1)0x1 或 1x2 或 x6. 题型三 不等式恒成立问题 例 3 对任意的 xR，函数 f(x)x2(a4)x(52a)的值恒大于 0，则 a 的取值范围为 _ 答案 (2，2) 解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使 f(x)0 恒成立， 只需 0 即可， 即(a4)24(52a)0， 解得2a2. 反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值
6、范围的问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值， 从而建立参数的不等式； (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象 建立关于参数的不等式求解 跟踪训练 3 对任意 a1，1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值恒大于零，则 x 的取 值范围是( ) A1x3 Bx1 或 x3 C1x2 Dx1 或 x2 答案 B 解析 f(x)0，x2(a4)x42a0， 即(x2)a(x244x)0， 设 g(a)(x2)a(x24x4) 由题意知，即 g（1）0， g（1）0，) x2
7、x24x4x23x20， x2x244xx25x60，) x1 或 x3. 题型四 一元二次不等式在生活中的应用 例 4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨 200 元收购某农产品，并按每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品， 决定将征税率降低 x(x0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点 (1)写出税收 y(万元)与 x的函数关系式； (2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围 解 (1)降低后的征税率为(10x)%，农产品的收购量为 a(12x%)万吨，收购总
8、金额为 200a(12x%) 依题意得，y200a(12x%)(10x)% a(1002x)(10x)(0x10) 1 50 (2)原计划税收为 200a10%20a(万元) 依题意得，a(1002x)(10x)20a83.2%， 1 50 化简得 x240x840， 42x2. 又0x10， 0x2. x 的取值范围是x|0x2 反思与感悟 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优 化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关 键 跟踪训练 4 在一个限速 40 km/h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对， 同时
9、刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离 略超过 10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之间分别有如下关系：S甲 0.1x0.01x2，S乙0.05x0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 解 由题意列出不等式 S甲0.1x0.01x212， S乙0.05x0.005x210. 分别求解，得 x30. x40. 由于 x0，从而得 x甲30 km/h，x乙40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任 1若集合 Ax|12x13，Bx|0，则 AB 等于( ) x2 x Ax|1x0 Bx|0x1 Cx|0x2 Dx|0x1 答案 B 解析 Ax|1x1，Bx|0x2， ABx|0x1 2若集合 Ax|ax2ax10 时，相应二次方程中的 a24a0，得a|0f(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x) min. 3解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的 未知量为 x，用 x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解
