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1、沈阳工程学院 第二章 导数与微分 （第二章 导数与微分 （Derivative and Differential） 第一节 导数的概念（Conception of derivative） 教学目的：1.理解导数定义 2.会用定义求简单函数导数 3.可导与连续的关系 内容：1.导数的定义 2.求导数举例 3.导数的意义 4.可导与连续的关系 教学重点：导数的定义 教学难点: 可导与连续的关系 教具：多媒体课件 教学方法：精讲多练 教学过程： 1.引入新课： 导数是微分学中的一个基本的概念，本节将学习导数的概念及其相关问题 2.教学内容： 一、导数的定义 引例 （1）变速直线运动的瞬时速度 在物理
2、学中，当物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度为 路程 速度 时间 但在实际问题中，运动往往是非匀速的，因此，上述公式反映的只能是物体在某 段时间内的平均速度，而不能准确反映物体在每一时刻的速度，即瞬时速度。 设一质点作变速直线运动，以数轴表示质点运动的直线，在运动过程中，质 点在数轴上的位置S与时间t 的函数关系为 SS t，求质点在 0 t 时刻的瞬时速 度 0 v t。 设在 0 t 时刻质点的位置为 0 S t，在 0 tt 时刻质点的位置为 0 S tt，于 沈阳工程学院 是在到这段时间内，质点所经过的路程为 00 SS ttS t。则在t时间 内的平均速度为 00 S ttS t
3、S v tt 。 质点在时刻 0 t 的瞬时速度为： t tstts t s tv tt )()( limlim)( 00 00 0 (2)切线的斜率 割线的极限位置切线位置割线的极限位置切线位置 如图：如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT,直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线. 极限位置即：. 0, 0MN ).,(),( 00 yxNyxM设的斜率为割线MN tan y x 00 ()() , f xxf x x ,0, C NMx 沿曲线 的斜率为切线MT 00 0 ()() tanlimtanlim. x f xxf x k x 导数的定义 定义定义的某个邻域内
4、在点设函数 0 )(xxfy ,有定义处在当自变量 0 xx取得增 量,)( 0 时仍在该邻域内点xxx0yxx 如果与之比当时的极限 0 lim x y x ,存在,)( 0处可导 在点则称函数xxfy 并称这个极限为函数在点)(xfy 处 0 x ,的导数 0 xx y 记为，, )( 00 xxxx dx xdf dx dy 或 T 0 xx o x y )(xfy C N M 沈阳工程学院 即 x xfxxf x y y xx xx )()( limlim 00 00 0 关于导数的说明： 关于导数的说明： 其它形式. )()( lim)( 00 0 0 h xfhxf xf h .
5、)()( lim)( 0 0 0 0xx xfxf xf xx . , 0 快慢程度自变量的变化而变化的 因变量随它反映了处的变化率点导数是因变量在点x .)( ,)( 内可导在开区间数 就称函内的每点处都可导在开区间如果函数 Ixf Ixfy . )( ),(,.,)( .)(, dx xdf dx dy xfyxf xfIx 或记作导函数简称为导数的导函数数叫做原来函数 这个函的一个确定的导数值都对应着对于任一 x xfxxf y x )()( lim 0 即. )()( lim)( 0 h xfhxf xf h 或 注意注意: 0 0 ()( ). x x fxfx 单侧导数单侧导数 1
6、.左导数左导数:; )()( lim )()( lim)( 00 0 0 0 0 0x xfxxf xx xfxf xf xxx 2.右导数右导数:; )()( lim )()( lim)( 00 0 0 0 0 0x xfxxf xx xfxf xf xxx 函数)(xf在点 0 x 处可导 左导数)( 0 xf和右导数)( 0 xf都存在且相等. 如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间 ba,上可导. 二、求导数举例 由定义求导数 步骤 由定义求导数 步骤: );()() 1 (xfxxfy求增量 ; )()( )2( x xfxxf x y 算
7、比值 .lim)3( 0 x y y x 求极限 例例 1.)()(的导数为常数求函数CCxf 沈阳工程学院 解：解： h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h CC h 0 lim. 0 . 0)(C即 例例 2.)(的导数为正整数求函数nxy n 解：解： h xhx x nn h n )( lim)( 0 ! 2 ) 1( lim 121 0 nnn h hhx nn nx 1 n nx .)( 1 nn nxx即 更一般地)(.)( 1 Rxx 例如例如,)(x 1 2 1 2 1 x. 2 1 x )( 1 x 11 ) 1( x. 1 2 x 例例 3.)(sin)(
8、sin,sin)( 4 x xxxxf及求设函数 解：解： h xhx x h sin)sin( lim)(sin 0 2 2 sin ) 2 cos(lim 0h h h x h .cosx .cos)(sinxx即 44 cos)(sin xx xx. 2 2 类似地，可求得(cos )sin .xx 例例 4.) 1, 0(log的导数求函数aaxy a 解：解： h xhx y aa h log)(log lim 0 x x h x h a h 1 )1 (log lim 0 h x a h x h x )1 (loglim 1 0 .log 1 e x a 沈阳工程学院 .log 1
9、 )(loge x x aa 即. 1 )(ln x x 三、导数的意义 1.几何意义1.几何意义 ),(,tan)( ,)(,()()( 0 000 为切线的倾斜角为斜率，即 处的切线的斜率在点表示曲线 kkxf xfxMxfyxf 切线方程为：切线方程为：).)( 000 xxxfyy 法线方程为：法线方程为：).( )( 1 0 0 0 xx xf yy 例求曲线 3 yx在点1,1处的切线的斜率，并写出切线方程和法线方程。 解 32 3yxx ，所求切线斜率为 2 1 1 33 x x kyx 所求切线方程为131 ,320yxxy 即 法线方程为 1 11 ,340 3 yxxy 即
10、 2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. .lim)( 0 dt ds t s tv t 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. .lim)( 0 dt dq t q ti t 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度. 四、可导与连续的关系 定理定理 )(xfy 在点 0 x 处可导 )(xfy 在点 0 x 处连续 证：证：,)( 0可导 在点设函数xxf )(lim 0 0 xf x y x ， )( 0 xf x y )0(0x，xxxfy)( 0 )(limlim 0
11、00 xxxfy xx =0 沈阳工程学院 .)( 0连续 在点函数xxf 注意注意: 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立. 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例 例如， 2 ,0 ,0 x x yxx x x 在点0x 处连续却不可导。 课堂练习： 假设 0 fx存在，则下列各题中?A 00 0 0 00 0 1.lim 2.lim,00,0 3.lim x x h f xxf x A x f x Aff x f xhf xh A h 其中且存在 小结： 1. 导数的实质:增量比的极限; 2.axf)( 0 )( 0 xf;)( 0 axf 3. 导数的几何意义:切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法:由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续，直接用定义;或看左右导数是否存在且相等. 课后作业：P35:2(1),3,5(4)
