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1、第五章 二次型,5.1 二次型的概念及其矩阵表示,定义1 含有,个变量, ，,的二次齐次函数,（5-1-1）,称为,元二次型，,简称为二次型,例如,下列二元多项式,就是二次型,就不是二次型。,为讨论方便，取,因为,所以二次型（5-1-1）可以写成,（5-1-2）,当,都是实数时，称二次型为实二次型。本书只讨论实二,二次型。,既然所谓二次型即为一个,元的二次齐次多项式，那只要把,各项系数确定下来，该二次型也就确定了，因此用系数矩阵即可表达二次型。,定义2 对二次型,（其中,），它的系数,可以排,一个,矩阵,称,为二次型的矩阵，并称,的秩为二次型,的秩。,因为二次型,的系数满足,所以其系数矩阵,是
2、对称矩阵。,事实上，如果令,则二次型就可以用矩阵的乘积表示出来：,即,（5-1-3）,式（5-1-3）称为二次型的矩阵表示,由上面的讨论可知，任给一个二次型，可以写出它的矩阵（对称矩,阵）；反之，由式 （5-1-3），任给一个对称矩阵，可以写出它对,应的二次型。显然，二次型,可以和它的系数矩阵建立一一对应的,关系。,例如，二次型,的矩阵是,反之，对称矩阵,所对应的二次型是,注意 一般情况下，所给二次型未必是式（5-1-2）或式（5-1-1）的形式，要写出其矩阵，需要先将所给二次型化为式（5-1-2）的形式，再写对应的对称矩阵。,例如，二次型,要写成矩阵形式，需把,这些项分别改写成,即,其矩阵表
3、示式为,或简单地就用对称矩阵,来表示,【例1】写出下列二次型的矩阵。,（1）,（2）,解 由二次型的矩阵表示式可知,（1）,（2）,【例2】已知二次型的对应矩阵为,（1）,（2）,试写出二次型的表达式。,解（1）,（2）,【例3】写出二次型,的矩阵，并求此二次型的秩。,解：二次型的矩阵为,易求,所以二次型,的秩为3。,习题51,1写出下列二次型的矩阵：,（1）,（2）,（3）,(4),2设二次型的对应矩阵是,（1）,（2）,（3）,试写出二次型的表达式,3写出二次型,的矩阵，并求此二次型的秩。,52 二次型的标准形,521二次型的标准形,在平面解析几何中，为了便于研究二次曲线,的几何性质，往往
4、采用通过坐标变换化成标准形,的方法根据标准形就可以作出曲线形状的判断，以及得到诸如圆的半径，椭圆的长半轴、短半轴等数据,在这里，我们对二次型也进行类似的讨论为此首先引入下述定义：,定义1 设,是两组变量，称,（5-2-1）,为由,到,的一个线性变换，简称线性变换。如果系,数矩阵,是非退化（可逆）矩阵，就称线性变换（5-2-1）是非退化的或可逆的。如果系数矩阵 是正交矩阵，就称线性（5-2-1）为正交变换。,线性变换可用系数矩阵来表示。例如线性变换（5-2-1）可以写成,=,令,有,（5-2-2）,则二次型（5-1-3）就变形为,（5-2-3）,即同一个二次型若用变量,表示，其对应的矩阵就成为,
5、（5-2-4）,于是，我们所关心的是如何寻找适当的可逆矩阵,使得,变成,最简单的形式 对角矩阵也即如何通过满秩变换,使得二次型用,表示时，只有平方项而没有交叉乘积项，,即化为,定义2 如果二次型,可以通过可逆线性变换,=,即,（其中,是可逆矩阵）化为,则称二次型,与二次型,是等价的。特别地，如果,是一个只含平方项的二次型，即,则称,为,的一个标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,=,使二次型只含平方项，我们简称这个问题为化二次型为标准形,522 化二次型为标准形的方法,1 用配方法化二次型为标准形,【例 1】 化二次型,为标准形，并求所作可逆线性变换的矩阵,解 先将含,
6、的各项配成一个关于,的完全平方项，即,再将含,的各项配成完全平方，即,=,令,（5-2-5）,得,（5-2-6）,即为所求的标准形,式（5-2-5）就是变量,与变量,之间的关系，从（5-2-5）中解出,即,（5-2-7）,所作可逆线性变换为,=,所作可逆线性变换的矩阵为,一般情况下，若给出的二次型,中有某个,的系数,则可把所有含,的项括到一起进行一次配,方（此时余下的各项中都不再含变量）,再对剩下的,个变量的,二次型重复上述步骤。,若用矩阵来表示，即二次型用变量,表示的矩阵为,现作变换（5-2-7），即,则二次型用变量,表示的矩阵即为对角矩阵,易知，上述配方法总是可行的，所以有下面的结论:,定
7、理 1 任何一个二次型都可以化为标准形即任何一个对称矩阵,总能找到可逆矩阵,使得,成为对角矩阵,【例2】 化二次型,（5-2-8）,为标准形，并求所作之变换,解 因为二次型中没有平方项，但含,项，所以先作一个满秩变换，,使其出现平方项，,根据平方差公式，令,（5-2-9）,把（5-2-9）代入（5-2-8）得,把含,的项配成完全平方，再把含,的项配成完全平方，得到,令,解出,得,（5-2-10）,于是二次型,就化为,（5-2-11）,把（5-2-9）和（5-2-10）结合起来为所作的变换,（5-2-12）,所作变换的矩阵形式为,其中,由,可知，线性变换,是可逆的，从而,为所求标准形，所求线性变
8、换为,通过解例2可知，要将,均为零、而某项,的系数不为零,的二次型,化为标准形，可先作变换,（5-2-13）,从而使,出现某个平方项系数不为零，再按照例1的步骤进行。,2用正交变换法化二次型为标准形,上面我们介绍了用配方法把二次型化为标准形除了这个方法以外还有更重要的方法-正交变换法,如果变量代换的系数矩阵是正交矩阵，则称之为正交变换现在我们将说明对二次型一定可以经过正交变换把它化成标准形,定理2 对于任何一个二次型,一定能找到一个正交矩阵,，使得经过正交变换,把它化为标准形,其中,是二次型,的矩阵,的全部特征值（证略）,可见，用正交变换化二次型为标准形的关键是找到一个正交矩阵,使二次型的矩阵
9、,化成对角矩阵。具体步骤如下：,（1）将二次型表示成矩阵形式,（2） 求出,的特征值和对应的特征向量；,（3） 对重特征值（如果有的话）对应的线性无关特征向量正交化，再将所有的特征向量单位化，设为,（4）构造正交矩阵,令,则,【例 3】 求一个正交变换,把二次型,化为标准形,解 二次型,的矩阵是,的特征多项式,于是,的不同特征值为,（二重），,对于,（二重），求解齐次线性方程组,由,求得一个基础解系为,先将,正交化，取,再将,单位化，得,对于,求解齐次线性方程组,由,求得它的一个基础解系为,再单位化，得,令,则,是正交矩阵，并且有,于是，令,即有正交变换,使,以上我们用配方和正交变换法，把一个
10、二次型化为标准形但是一般地说，化二次型为 标准形不是唯一的,习题52,1 用配方法把下列二次型化为标准型：,（1）,（2）,2把下列二次型用配方法化为标准型，并写出所作的变换：,（1）,（2）,3用正交变换把下列二次型化成标准型：,（1）,（2）,4 把下列二次型用正交变换化成标准型，并且写出所作的变换：,（1）,（2）,53 惯性定理与正定二次型,531 惯性定理,从前面的讨论不难发现：用不同的可逆线性变换把一个二次型化为标准形时，标准形中的系数可能不同，但它们的项数却是相同的，且正（负）系数的项数也相同。这个规律对二次型是普遍成立的下面,我们将不加以证明给出一个定理为了说明这个定理,先给出
11、一些有关的概念,定义1 二次型,的标准形中,系数为正的平方项个数,称为,的正惯性指数;系数为负的平,称为,的负惯性指数,其中,为,的秩,定理1 (惯性定理) 二次型,的任一标准形中,系数为正的平方项个数是唯,方项个数是唯,一确定的,它等于,的正惯性指数;而系数为,负的平方项个数也是唯一确定的，,它等于,的负惯性指数,等价命题：设有实二次型,它的秩为,如果有两个可逆线性变换,使,（,），,则,中正数的个数与,中正数的个数相等（显然负数个数也相等）。,科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为,或负惯性指数为,的,元二次型。下面我们主要研究正惯性指数为,的,元二次型即正定二次型。,532 正定二次型
12、,1 正定二次型的概念,定义,二次型,如果对任意一组不全为零的实数,都有,则称,为正定二次型；反之，如果对任意一组不全为零的,实数,都有,则称,为负定二次型。正定二次型的矩阵称为正定矩阵，,负定二次型的矩阵称为负定矩阵。,例如，二次型,就不是正定二次型，这是,因为，当,时，有,如果给定的二次型不是标准形，一般不能直接看出其是否为正定二次型，用定义来判别它是否是正定二次型的判别方法又比较麻烦，那么，除了用定义外，还有没有别的方法判断它是正定二次型呢？回答是肯定的。,2 正定二次型的判别,定理 2,元二次型,正定的充分必要条件是：它的正惯,性指数等于,即它的标准形的,个系数全为正。（证略）,推论,
13、元二次型,正定的充分必要条件是：它的矩阵,的特征值全大于零。,定义3 在,阶方阵,中，取第,行及第,列得到的,阶子式,称为,的,阶顺序主子式。,例如，,称,为一阶顺序主子式，称,为二阶顺序主子式，称,为三阶顺序主子式。,定理 3（霍尔维茨定理）二次型,正定的充分必要,条件是：它的矩阵,的所有顺序主子式全大于零。即对称矩阵,为正定的充分必要条件是：它的所有顺序主子式全大于零。即,对称矩阵,为负定的充分必要条件是：它的所有奇数阶顺序主子式,全小于零，而偶数阶顺序主式子全大于零，即,（证略）,【例1】判定二次型,是否为正定二次型。,解法一：运用定理2用配方法先将二次型化为标准形,令,则,于是,的正惯
14、性指数是2，不等于未知数的个数3，,故由定理2知,不是正定二次型。,解法二：运用定理2推论，先求,的矩阵,的特征值，,由,的特征方程,可得,因为,所以由定理2推论知,不是正定二次型。,解法三：运用定理3，二次型的矩阵为,的顺序主子式,由定理3知,不是正定二次型。,【例 2】试证：若,是正定矩阵，则伴随矩阵,也是正定矩阵,证 因,正定，故其特征值,和,而,的特征值为,由定理2推论知，,也是正定的。,习题53,1判断下列二次型是否正定：,（1）,（2）,（3）,2,满足什么条件时，下列二次型是正定的,（1）,（2）,+,3试证：任一,阶可逆矩阵,则,是正定矩阵,4试证：若,与,是,阶正定矩阵，则,也是正定矩阵,5试证：若,是正定矩阵，则存在一个可逆矩阵,，使得,试证：若,是正定矩阵，则,也是正定矩阵,证 因为,是对称矩阵，所以,也是对称矩阵又因,是正定的，,所以有正交矩阵,使得,其中,全大于零,由于,所以,于是,易知,也全大于零，所以,也是正定的,3通过线性变换,化二次型为标准形时，为什么要求矩阵,是可逆的？,答：因为只有可逆线性变换才能保持二次型的性质，才能还原成二次型。,4化二次型为标准形的方法与技巧？ 答：方法与技巧一 配方法-对二次型,从左边先找出一个系数不为零的平方
