《高等数学 少学时 第二版 第3章 导数与微分的应用第3章导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 少学时 第二版 第3章 导数与微分的应用第3章导数的应用（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新编经济应用数学3.1洛必达法则3.1.1 中值定理设 是闭区间上一条连续曲线段，如图3-1所示，如果其上每点都有不垂直于轴的切线，且曲线段的始点与终点高度相同的话，那么曲线上至少有一点，使得曲线在点处的切线是水平的，或者说切线是与弦平行的这一几何事实抽象出来，就是如下定理：定理1 （罗尔中值定理）若函数满足条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；（3） 则至少存在一点,使得【例1】验证函数在区间上满足罗尔定理证明 因为满足：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；（3） ，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得事实上，令，有，取即验证了罗尔中值定理的正确性图31在罗尔
2、中值定理的条件中，当时，对应的函数曲线如图3-2所示此时，虽然点处的切线不水平了，但它仍与弦平行，而弦的斜率为,曲线在点处的切线的斜率为，于是有如下定理：定理2（拉格朗日值中值定理）若函数满足条件（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导则至少存在一点，使得这个等式也可写成拉格朗日中值定理是微积分学重要定理之一，它准确地表达了函数在一个闭区间上的平均变化率（或改变量）和函数在该区间内某点处导数之间的关系，它是用函数的局部性来研究函数的整体性的工具，应用十分广泛【例2】对于函数，在闭区间上验证拉格朗日定理的正确性解 对于函数在闭区间上连续，在区间内可导，又，由拉格朗日中值定理，存在，使得，从
3、而解得【例3】若，证明证明 设因为在区间图 3-2上连续，在内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，于是，而，代入上式为又因为，所以我们知道，常数的导数为零，反过来说，如果函数在区间内的每一点的导数都为零，则是否为常函数？拉格朗日中值定理给予了肯定答案推论 如果在区间内，则在内为一常数证明 在区间内任取两点，在上应用拉格朗日中值定理，有，由于，所以，因此任意两点函数值相等的函数必为常数，即（为常数）几何意义也是非常显然的，斜率处处为零的曲线一定是一条平行于轴的直线【例4】证明三角函数恒等式arc证明 设arc，则内可导，且arc故（为常数）,又因为,而所以，即3.1.2 洛必达法则如果当（或）
4、时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那末极限可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为或对于不定式，即使它的极限存在，也不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来求为此，我们介绍一种求不定式极限的重要方法，这就是洛必达法则1型不定式定理3 （洛必达法则1）设函数，满足条件（1）；（2），在点的某邻域内（点可除外）可导，且；（3） （或为无穷大）则（或为无穷大）定理3中，把换为时，结论也成立【例5】求解 这是型不定式，由洛必达法则，有如果仍是型，且仍满足定理中所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则,即且可以依次类推【例6】求解 这是型不定式，由洛必达法则，有（还是型） 【
5、例7】求解 这是型不定式，由洛必达法则，有2型不定式定理4（洛必达法则2）设函数满足条件（1）,；（2）在点的某邻域内（点可除外）可导，且；（3）（或无穷大）则（或为无穷大）定理4中，把换成时，结论也成立【例8】求()解 这是型不定式，由洛必达法则，有同样，在求不定式极限过程中，只要分子分母满足洛必达法则条件，就可以多次重复使用法则【例9】求极限（为正整数）解 当时，此极限为“”型，由罗比达法则，得3其它类型的不定式不定式除和型外，还有、等类型，一般地，对这些类型的不定式，通过变形总可以化为或型的不定式，再用洛必达法则求极限【例10】求解 这是“”型不定式，先变形再由洛必达法则，有（型） 【例
6、11】求解 这是“”型不定式，先变形再由洛必达法则，有型） 对于“”、“”、“”型不定式，均属于幂指函数的极限，通过恒等变形可化为指数函数与对数函数的复合函数的极限，于是问题就转化为“”型不定式了【例12】求解 这是“”型不定式，=因为所以【例13求解 这是“”型不定式，因为= =所以【例14】求解 这是“”型不定式，因为所以值得注意的是,如果不存在,并不能由此断定不存在【例15】求解 这是型不定式由于不存在，所以此题不能用洛必达法则求解,而用下面方法求解，即小结：洛必达法则本节主要内容是中值定理和洛必达法则，要求学生了解罗尔定理和拉格朗日中值定理的内容和几何意义；重点掌握洛必达法则求不定型极
7、限问题3.2函数图像的描绘3.2.1 函数单调性的判定用函数单调性的定义来判断一个函数在区间上的单调性，往往比较困难；而利用拉格朗日中值定理很容易推得下面这个非常简便的方法，它是通过函数的导数来确定函数的单调性定理1 设函数在区间上连续，在区间内可导：（1）若在内，则函数在上单调增；（2）若在内，则函数在上单调减值得注意的是，定理中的闭区间改为其它各种区间结论也成立【例1】讨论函数的单调性解 函数的定义域为，令 , 解之得 ，用和把分成三个部分区间，把定义域分成部分区间后，函数单调性也可通过列表讨论（表中“”、“”分别表示为函数在相应区间内单调增、单调减）13+00+从例1可以看出，有些函数在
8、它的定义区间上虽然不是单调的，但对于在定义区间内有导数的函数，当我们用使导数等于零的点（称为驻点）来划分它的定义区间以后，就可以使函数在每个部分区间单调如果函数在某些点不可导，则划分定义区间的分点还应包括这些导数不存在的点因此，求函数的单调区间的一般步骤是：(1) 确定函数的定义域；(2) 求出的点和不存在的点，并用这些点作为分点把定义区间分成若干个部分区间；(3) 列表讨论函数在各个部分区间的单调性【例2】求函数的单调区间解 的定义域为；，故无驻点；当时,不存在列表讨论1不存在+因此函数在上单调减，在上单调增【例3】证明：当时，证明 令，则在上连续，又当时，故在上单调增，从而当时，有，即，故
9、有同理，令，当时，则有即因此，当时，3.2.2 函数的极值1极值的定义定义1 设函数 在点及其附近有定义，若对点附近任一点（），均有（1）则称为的极大值，称点为的极大值点;（2）则称为的极小值，称点为的极小值点函数的极大值和极小值统称函数的极值，极大值点和极小值点统称函数的极值点如图33所示，和是的极大值点，和为的极大值；和是的极小值点，和为的极小值应当注意，极值是一个局部性概念，而不是整体性概念，因而可能出现函数的某一极大值小于另一极小值的情形，如图33中极大值小于极小值2极值的判别法由图33可见，可导函数的极值点是函数由增（减）到减（增）的分界点，在这一点处曲线的切线总是与轴平行的，因此，
10、在极值点处曲线的切线斜率为零另外，函数在不可导点处也可能有极值，例如，函数，在处不可导，而是的极小值点定理2 （极值存在的必要条件） 若是的极值点，则或不存在注意：只是可导函数在处有极值的必要条件，而不是充分条件也就是说，虽然有，但不一定是极值点例如，虽有，但不是的极值点那么使导数为零的点怎样才能是极值点呢？定理3 （第一充分条件）设函数在点处连续，在的附近可导（点可除外）图33（1）如果在点的左侧附近，在的右侧附近，则是的极大值；（2）如果在点的左侧附近，在点的右侧附近，则是的极小值；（3）如果在点的左、右两侧附近（点除外）同号，则在处没有极值根据定理3，我们可以按下列步骤来求的极值点和极值：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数，确定驻点和导数不存在的点；（3）考察函数在上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值【例4】求函数的极值解 （1）的定义域为；（2），令，求得驻点=，；（3）考察驻点两侧的符号，列表讨论3+00+极大值极小值因此，=为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为【例5】求函数的极值解 (1) 函数的定义域为；(2) ；(3) 令得驻点，又函数的在点和处的导数都不存在(4) 用，和这三个点将定义域分为四个区间列表考察：
