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1、高 等 数 学,主讲人 宋从芝,河北工业职业技术学院,5.5 定积分的应用,本讲概要,平面图形的面积 旋转体的体积,一.平面图形的面积,由连续曲线 y=f (x)与直线 x=a ，x=b，y=0所围成 的平面图形的面积,)若f (x) 0时，,面积为,由连续曲线 y=f (x)与直线 x=a ，x=b，y=0所围成的平面图形的面积,)若f (x) 0时，,面积为,由连续曲线 y=f (x)与直线 x=a ，x=b，y=0所围成的平面图形的面积,)若f (x) 在a,b有正有负时，,面积为,由连续曲线 y=f (x)， y=g(x)与直线 x=a ，x=b， 所围成的平面图形的面积,)若f (x
2、) g(x) 0时，,面积为,由连续曲线 y=f (x)， y=g(x)与直线 x=a ，x=b， 所围成的平面图形的面积,)若f (x) g(x) 时，,面积为,由连续曲线 x= (y)( (y) 0)与直线 y=c ，y=d， x=0所围成的平面图形的面积,将y作为积分变量，,面积为,由连续曲线 x= 1(y)，x=2 (y)( 1(y) 1 (y)与 直线 y=c ，y=d 所围成的平面图形的面积为,例1 求由抛物线y = x2 与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形的面积。,解,确定x为积分变量，,画出图形,积分区间为1,2，,则平面图形的面积为,练习1 求由抛物线y = x2 与
3、直线y=x所围成的平面图形的面积。,解,确定x为积分变量，,画出图形。,积分区间为0,1，,则面积为,若取y为积分变量，则面积怎么表示？,练习2 计算平面图形的面积。,解,确定y为积分变量，,积分区间为0,1，,则面积为,例2 求由抛物线y = x2 与y =2- x2 所围成的平面图形的面积。,解,解得两抛物线的交点为(-1,1),(1,1)。,画出图形，,联立方程组,确定x为积分变量，,积分区间为-1,1，,则面积为,例3 求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 y = x 4 所围成的平,(2, -2) ，,面图形的面积。,解,画出图形，,联立方程组,解得抛物线与直线的交点为,(8, 4)
4、。,确定y为积分变量，,则平面图形的面积为,积分区间为-2,4，,若取x为积分变量，则面积怎么表示？,练习3 求由y = sinx ，y=cosx，x=0，x= 所围成的平面图形的面积。,一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周 所成的立体叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。 圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体。,二.旋转体的体积,圆柱,圆锥,圆台,将区间 a, b 任意分为 n 个小区间 xi - 1, xi (i=1,2, n)，,用定积分解实际问题时常用的方法，,分割：,其中 x0 = a，xn = b 。,1.微元法,在子区间 xi-1, xi 上，任取一点,xi ，,作小曲边梯形面积 Ai
5、 的近似值,Ai f (xi)xi,(i=1,2, n),近似：,即微元法。,我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程。,求和：,曲边梯形面积,取极限：,如果把第二步中的 xi 用 x 替代，,中的被积分式 f (x)dx 具有类似的形式，,xi 用 dx 替代，,第二步近似时其形式 f(xi)xi ，与第四步积分,最大小区间长度xi,那么它就是第四步积分中的被积分式。,定变量。,根据问题的具体情况，选择积分变量，,并确定其范围，,例如 x为积分变量，,看作常数，构造微元,U Q (x)dx,求积分。,微元法：,a, b。,取微元。,在a, b选定子区间 x, x + dx ，,将微元积分,将f(
6、x),x的变化区间为,定变量。,x为积分变量，,面积微元,求积分。,使用微元法计算曲边梯形的面积：,a, b。,取微元。,在a, b选定子区间 x, x + dx，,dA = f(x)dx,变化区间为,x,x+dx,A,2.旋转体的体积,（1）计算由连续曲线 y=f (x)与直线 x=a ，x=b，y=0所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积。,定变量。,x为积分变量，,过x和x + dx,求积分。,a, b。,取微元。,在a, b选定区间 x, x + dx，,dV = f 2(x)dx,变化区间为,作垂直于x轴的平面，截得一个小的旋转体，,近似看做以|f (x)|为底面半径，
7、dx为高的圆柱体。,体积为,（2）由曲线 x= (y)与直线 y=c ，y=d(cd)，x=0所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周得到的旋转体的体积。,绕 y轴,绕 x轴,旋转体的体积公式：,例5 证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为,V= r2h。,解,圆锥可以看做由直角三角形OAB绕x轴旋转一周得 到的旋转体，,体积为,直线OA的方程为,例6 求椭圆,解,所围图形分别绕 x轴旋转,一周而成的旋转体的体积。,由图形的对称性，得旋转体的体积为,例7,如图所示的一个高8cm，上底半径为5cm，下底半径为3cm的圆台形工件，在中央钻一个半径为2cm的孔，求该工件的体积。,作业 习题5.5 1(2)(3)，2(1)(4),小结,1. 平面图形的面积,2.旋转体的体积,Thank You !,
