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1、第六章 一阶电路,2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解;,重点,3. 稳态分量、暂态分量求解;,1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定;,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,特点:,1. 动态电路,6.1 动态电路的方程及其初始条件,当动态电路状态发生改变时(换路)需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,例,过渡期为零,电阻电路,K未动作前,电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,K接通电源后很长时间,电容充电完毕,电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电容
2、电路,K未动作前,电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,K动作后很长时间,电容放电完毕,电路达到新的稳定状态,有一过渡期,第三个稳定状态,K未动作前,电路处于稳定状态,i = 0 , uL = 0,uL= 0, i=Us /R,K接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态,电感视为短路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电感电路,K未动作前,电路处于稳定状态,i = 0 , uL = ,uL= 0, i=Us /R,K断开瞬间,注意工程实际中的过电压过电流现象,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L 、C,电路在换路时能量发生变
3、化,而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,(1)描述动态电路的电路方程为微分方程;,结论:,(2)动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数;,二阶电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,高阶电路,电路中有多个动态元件,描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,(1)根据KVl、KCL和VCR建立微分方程,复频域分析法,时域分析法,(2)求解微分方程,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,(1) t = 0与t = 0的概念,认为换
4、路在 t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3. 电路的初始条件,初始条件为 t = 0时u ,i 及其各阶导数的值,0,0,图示为电容放电电路,电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,解,特征根方程:,得通解:,代入初始条件得:,说明在动态电路的分析中,初始条件是得到确定解答的必需条件。,t = 0+时刻,当i()为有限值时,q (0+) = q (0),uC (0+) = uC (0),换路瞬间,若电容电流保持为有限值, 则电容电压(电荷)换路前后保持不变。,(2) 电容的初始条件,电荷守恒,结论,当u为有限值时,L (0)= L (0),iL(0)=
5、iL(0),(3) 电感的初始条件,t = 0+时刻,磁链守恒,换路瞬间,若电感电压保持为有限值, 则电感电流(磁链)换路前后保持不变。,结论,(4)换路定律,(1)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,注意:,换路瞬间,若电感电压保持为有限值, 则电感电流(磁链)换路前后保持不变。,换路瞬间,若电容电流保持为有限值, 则电容电压(电荷)换路前后保持不变。,(2)换路定律反映了能量不能跃变。,5.电路初始值的确定,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0)=8V,(1) 由0电路求 uC(0)或iL(0),uC(0)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),例1,求
6、 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,iL(0+)= iL(0) =2A,例 2,t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+),先求,由换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,求初始值的步骤:,1. 由换路前电路(一般为稳定状态)求uC(0)和iL(0);,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3. 画0+等效电路。,4. 由0+电路求所需各变量的0+值。,b. 电容(电感)用电压源(电流源)替代。,a. 换路后的电路,(取0+时刻值,方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同)。,iL(0+) = iL(0) = IS,uC(0+) = uC(0) = RIS,uL(
7、0+)= - RIS,求 iC(0+) , uL(0+),例3,解,由0电路得:,由0电路得:,例3,求K闭合瞬间各支路电流和电感电压,解,由0电路得:,由0+电路得:,例4,求K闭合瞬间流过它的电流值。,解,(1)确定0值,(2)给出0等效电路,6.2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零,仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,1. RC电路的零输入响应,已知 uC (0)=U0,特征根,则,零输入响应,代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0,A=U0,令 =RC , 称为一阶电路的时间常数,(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;,从以上各式可以得出:,连续函数,跃
8、变,(2)响应与初始状态成线性关系,其衰减快慢与RC有关;,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = R C, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,电压初值一定:,R 大( C一定) i=u/R 放电电流小,C 大(R一定) W=Cu2/2 储能大,物理含义,工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。,:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,t1时刻曲线的斜率等于,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,次切距的长度,(3)能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收, 直
9、到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量:,电阻吸收(消耗)能量:,例,已知图示电路中的电容原本充有24V电压,求K闭合后,电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题,有:,分流得:,2. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值 i(0+)= I0,A= i(0+)= I0,从以上式子可以得出:,连续函数,跃变,(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;,(2)响应与初始状态成线性关系,其衰减快慢与L/R有关;,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,L大 W=Li2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过
10、程消耗能量小, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,物理含义,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = L/R,电流初值i(0)一定:,(3)能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量:,电阻吸收(消耗)能量:,iL (0+) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时 , 打开开关K,求uv。,现象 :电压表坏了,电压表量程:50V,解,例2,t=0时 , 开关K由12,求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,小结,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比,称为零输入线性。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响
11、应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,动态元件初始能量为零,由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。,列方程:,6.3 一阶电路的零状态响应,非齐次线性常微分方程,解答形式为:,1. RC电路的零状态响应,零状态响应,齐次方程通解,非齐次方程特解,与输入激励的变化规律有关,为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,的通解
12、,的特解,(1)电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数; 电容电压由两部分构成:,从以上式子可以得出:,连续函数,跃变,稳态分量(强制分量),暫态分量(自由分量),+,(2)响应变化的快慢,由时间常数RC决定;大,充电 慢,小充电就快。,(3)响应与外加激励成线性关系;,(4)能量关系,电容储存:,电源提供能量:,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上,一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时 , 开关K闭合,已知 uC(0)=0,求(1)电容电压和电流,(2)uC80V时的充电时间t 。,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题,有:,(2)设经过t1秒,uC80V,2. RL
13、电路的零状态响应,已知iL(0)=0,电路方程为:,例1,t=0时 ,开关K打开,求t0后iL、uL的变化规律 。,解,这是一个RL电路零状态响应问题,先化简电路,有:,例2,t=0时 ,开关K打开,求t0后iL、uL的及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状态响应问题,先化简电路,有:,6.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零,同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,解答为 uC(t) = uC + uC“,uC (0)=U0,以RC电路为例,电路微分方程:,=RC,1. 全响应,全响应,uC (0+)=A+US=U0, A=U0 - US,由起始值定A,2. 全响应的两种分解
14、方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),全响应 = 强制分量(稳态解) + 自由分量(暂态解),(1) 着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,(2). 着眼于因果关系,便于叠加计算,例1,t=0时 ,开关K打开,求t0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题,有:,零输入响应:,零状态响应:,全响应:,或求出稳态分量:,全响应:,A=4,例2,t=0时 ,开关K闭合,求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,这是一个RC电路全响应问题,有:,稳态分量:,全响应:,A=10,3. 三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶微分方程:,令 t = 0+,其解答一般形式为:,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,直流激励时:,解,