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1、项目三 多元函数微积分实验4 水箱的流量问题（综合实验）实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.问题 (1991年美国大学生数学建模竞赛的A题. 问题中使用的长度单位为E(英尺, 1 E=30.24cm), 容积单位是G(加仑, 1 G=3.785L).某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱水位低于水位L时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位
2、H为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水12次, 每次约2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t流出水箱的流量并估计一天的总用水量.表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57E, 高为40E的正圆柱体. 当水位落到27E以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5E时, 水泵停止工作.表1 时间/s水位E时间/s水位E033166635106191393717921212402522328543322843593239332394354331831753110305429942947289
3、22850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假设(1) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等. 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响;(2) 水泵的灌水速度为常数;(3) 从水箱中流出水的最大流
4、速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水箱中的水用尽, 这是显然的要求;(4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等)为基础的, 所以,可以认为每天的用水量分布都是相似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似.问题分析与模型建立为方便起见,记V表示水的容积;表示时刻 (单位:h)水的容积;表示流出水箱的水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p表示水泵的灌水速度(G/h).先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积(单位: ). 输入tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,
5、28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270/3600/Nvv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*
6、7.481/103/N则输出下表.表2 时间/h水量/G时间/h水量/G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8
7、824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.367648.477637.593由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表2的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度输入tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27则输出下表表3 时间区间的中点值/h平均水流量/G/h时间区间
8、的中点值/h平均水流量/G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618
9、.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095模型求解为了作出时间tt1与平均水流量vv1之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令 Identity;Showg1,fg,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出图4.2.图4.2求解结果将h和h代入到水的流速拟合函数我们得到这两时刻的流速分别近似为13532.5G/h和13196.1G/h,相差仅2.48587%, 从而可以认为能近似表达一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等
10、于函数在24小时周期内的积分. 输入Integrateft,t,0.46,24.46则输出336013.G若按常规每1000人的用水量为105000G/d, 因此估计出这个地区大约有3200人.模型评价该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模型计算出来, 可以推测速度. 但数据太少, 只能参照一天的数据. 另外, 如果知道水泵的灌水速度, 就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速.实验报告某装饰材料商店欲以每瓶2元的成本价购进一批彩漆. 一般来说, 随着彩漆售价的提高,预期销售量将减少, 对此进行了估算, 见下表.为了尽快收回资金并获得较多的赢利, 装饰材料商店打算做广告. 投入一定的广告费后,销售量将有一个增长, 可由销售增长因子来表示. 例如, 投入4万元的广告费, 销售增长因子为1.95. 即销售量将是预期销售量的1.95倍. 根据经验, 广告费与销售增长因子的关系见下表.试确定装饰材料商店的最佳营销策略, 即确定彩漆售价和广告费投入使得预期的利润最大?
