《人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二导学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二导学案(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、.1.2.1.任意角的三角函数(二)学习目标.1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一.三角函数的定义域思考.正切函数ytan x为什么规定xR且xk,kZ?答案.当xk,kZ时,角x的终边在y轴上,此时任取终边上一点P(0,yP),因为无意义,因而x的正切值不存在.所以对正切函数ytan x,必须要求xR且xk,kZ.梳理.正弦函数ysin x的定义域是R;余弦函数ycos x的定义域是R;正切函数ytan x的定义域是x|xR且xk,kZ.知识点二.三角函数线思考1.
2、在平面直角坐标系中,任意角的终边与单位圆交于点P,过点P作PMx轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交的终边或其反向延长线于点T,如图所示,结合三角函数的定义,你能得到sin ,cos ,tan 与MP,OM,AT的关系吗?答案. sin MP,cos OM,tan AT.思考2.三角函数线的方向是如何规定的?答案. 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之,为负值.思考3.三角函数线的长度和方向各表示什么?答案. 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.梳理.图示正弦线角的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过
3、点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与的终边或其反向延长线相交于点T,有向线段AT即为正切线类型一.三角函数线例1.作出的正弦线、余弦线和正切线.解.如图所示,sinMP,cosOM,tanAT.反思与感悟.(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT.跟踪训练1.在单位圆中画出满足sin 的角的终边,并求角的取值集合.解.已知角的正弦值,可知MP,则P点纵坐标为.所以在y轴上取点,过这点作x轴
4、的平行线,交单位圆于P1,P2两点,则OP1,OP2是角的终边,因而角的取值集合为|2k或2k,kZ.类型二.利用三角函数线比较大小例2.利用三角函数线比较sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.解.如图,sinMP,cosOM,tanAT,sinMP,cosOM,tanAT. 显然|MP|MP|,符号皆正,sinsin;|OM|cos;|AT|AT|,符号皆负,tanM2P2,且符号皆正,sin 1 155sin(1 654).类型三.利用三角函数线解不等式(组)命题角度1.利用三角函数线解不等式(组)例3.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合.(1)
5、sin ;.(2)cos .解.(1)作直线y交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分,包括边界),即为角的终边的范围.故满足要求的角的集合为|2k2k,kZ.(2)作直线x交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分,包括边界),即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k2k,kZ.反思与感悟.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点:(1)先找到“正值”区间,即02内满足条件的角的范围,然后再加上周期;(2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练3.已知cos ,利用单位圆中的三角
6、函数线,确定角的取值范围.解.图中阴影部分就是满足条件的角的范围,即|2k2k或2k2k,kZ.命题角度2.利用三角函数线求三角函数的定义域例4.求下列函数的定义域.(1)y;(2)ylg(sin x).解.(1)自变量x应满足2sin x0,即sin x.图中阴影部分就是满足条件的角x的范围,即x|2kx2k,kZ.(2)由题意知,自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,x|2kx2k,kZ.反思与感悟.(1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特
7、别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练4.求函数f(x)的定义域.解.要使函数f(x)有意义,必须使2sin x10,则sin x.如图,画出单位圆,作x轴的平行直线y,交单位圆于点P1,P2,连接OP1,OP2,分别过点P1,P2作x轴的垂线,画出如图所示的两条正弦线,易知这两条正弦线的长度都等于.在0,2)内,sinsin.因为sin x,所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界),所以函数f(x)的定义域为x|2kx2k,kZ.1.下列四个命题中:当一定时 ,单位圆中的正弦线一定;在单位圆中,有相同正
8、弦线的角相等;和有相同的正切线;具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.则错误命题的个数是(.)A.0 B.1 C.2 D.3答案.B解析.由三角函数线的定义知正确,不正确.2.如图在单位圆中,角的正弦线、正切线完全正确的是(.) A.正弦线为PM,正切线为ATB.正弦线为MP,正切线为ATC.正弦线为MP,正切线为ATD.正弦线为PM,正切线为AT答案.C3.设asin,bcos,ctan,则(.)A.abc B.acb C.bca D.bac答案.D解析.,作的三角函数线,则sinMP,cosOM,tanAT,OMMPAT,bac,故选D.4.函数y的定义域为 .答案. ,kZ5.利用
9、三角函数线,在单位圆中画出满足下列条件的角的区域,并写出角的集合:(1)cos ;(2)tan ;(3)|sin |.解.(1)|2k2k,kZ.(2)|ksin 1.2sin 1.5B.sin 1sin 1.5sin 1.2C.sin 1.5sin 1.2sin 1D.sin 1.2sin 1sin 1.5答案.C解析.1,1.2,1.5均在内,正弦线在内随的增大而逐渐增大,sin 1.5sin 1.2sin 1.3.若02,且sin ,则角的取值范围是(.)A. B.C. D.答案.D解析.角的取值范围为图中阴影部分,即.4.若角的余弦线是单位长度的有向线段,那么角的终边在(.)A.y轴上
10、 B.x轴上C.直线yx上 D.直线yx上答案.B解析.由题意得|cos |1,即cos 1,则角的终边在x轴上.故选B.5.在下列各组的大小比较中,正确的是(.)A.sinsin B.coscosC.tantan D.sintan答案.B6.有三个命题:和的正弦线长度相等;和的正切线相同;和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为(.)A.1 B.2 C.3 D.0答案.C解析.和的正弦线关于y轴对称,长度相等;和两角的正切线相同;和的余弦线长度相等.故都正确,故选C.7.点P(sin 3cos 3,sin 3cos 3)所在的象限为(.)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案.D解析.因为3,作出单位圆如图所示. 设MP,OM分别为a,b.sin 3a0,cos 3b0,所以sin 3cos 30.因为|MP|OM|,即|a|b|,所以sin 3cos 3ab0.故点P(sin 3cos 3,sin 3cos 3)在第四象限.二、填空题8.不等式tan 0的解集是 .答案.|kk,kZ解析.不等式的解集如图所示(阴影部分),.9.把sin,sin,cos,tan由小到大排列为 .答案.cossinsintan解析.由图可知,sinM