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1、第2课时应用举例(二)题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.如图L1-2-13,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40方向,灯塔B在观察站南偏东60方向,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10方向B.北偏西10方向C.南偏东80方向D.南偏西80方向图L1-2-132.已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为()A.12 B.1C.3D.23.在平行四边形ABCD中,已知AC=65,BD=17,周长为18,则该平行四边形的面积是()A.16B.17.5C
2、.18 D.18.534.若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,B=4,SABC=4,则b=()A.5B.25C.41D.525.已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c若ABC的面积为32,且b=2,c=3,则A等于()A.60或120B.60C.120 D.30或1506.2019年9月16日05时,第19号台风“杜苏芮”的中心位于A地,它将以30千米/时的速度向北偏西30的方向移动,距台风中心t千米以内的地区都将受到影响.若距A地正西方向900千米的B地16日08时开始受台风影响,则t的值为()A.9091B.9013C.907D.907.如图L1-2-1
3、4,在四边形ABCD中,若A=C=60,AD=BC=2,且ABCD,则四边形ABCD的面积为()图L1-2-14A.32B.3C.62D.与点B的位置有关二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=60,且a=4,c=3,则ABC的面积等于.9.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆的面积为.10.一艘船以15 km/h的速度向正东方向航行,船上的人在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向上,行驶4 h后,船到达B处,船上的人看到这个灯塔在北偏东15方向上,这时船与灯塔间的距离为km.11.在ABC中,内角A,B,C
4、的对边分别为a,b,c,S表示ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=14(b2+c2-a2),则B=.三、解答题(本大题共2小题,共25分) 得分12.(12分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面积为2,求cos A与a的值.13.(13分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=45,b=2.(1)当A=30时,求a的值; (2)当ABC的面积为3时,求a+c的值.得分14.(5分)江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两船的俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两
5、条船相距()A.103 mB.1003 mC.2030 mD.30 m15.(15分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+3asin C-b-c=0.(1)求角A的大小;(2)若ABC为锐角三角形,且a=3,求b2+c2的取值范围.第2课时应用举例(二)1.D解析 由条件及题图可知,CAB=CBA=40.因为BCD=60,所以CBD=30,所以DBA=10,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80方向.2.C解析 由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,0A180,A=60ABC的面积S=12bcsin A=3,故选C.3.A解析 设AD=b,AB=a,BAD
6、=,则a+b=9,a2+b2-2abcos =17,a2+b2-2abcos(180-)=65,解得a=5,b=4,cos =35或a=4,b=5,cos =35,SABCD=absin =16,故选A.4.B解析 在ABC中,由a=2,B=4,SABC=4,可得4=122csin4,解得c=42.由余弦定理可得b=a2+c2-2accosB=22+(42)2-224222=25.故选B.5.A解析 由SABC=12bcsin A,得32=1223sin A,所以sin A=32.因为0A180,所以A=60或120,故选A.6.A解析 如图所示,假设B地开始受台风影响时,台风中心移动到E处,
7、则在AEB中,AB=900,AE=330=90,BE=t,则由余弦定理可得t2=9002+902-290090cos 60=9002+902-90090,解得t=9091.故选A.7.B解析 连接BD,在ABD中,BAD=60,AD=2, 由余弦定理,得BD2=AD2+AB2-2ADABcos 60.在CBD中,BCD=60,BC=2,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 60,-,得AB2-CD2+BCCD-ADAB=0,即(AB-CD)(AB+CD-2)=0.ABCD,AB+CD=2,则四边形ABCD的面积S=12ADABsin 60+12BCCDsin 60=32(AB
8、+CD)=3,故选B.8.33解析 由三角形的面积公式得SABC=12acsin B=1243sin 60=33.9.275解析 不妨记三角形为ABC,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=6,b=c=12,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=122+122-6221212=78,sin A=1-(78)2=158.由12(a+b+c)r=12bcsin A(r为内切圆的半径),得r=3155,S内切圆=r2=275.10.302解析 如图所示,依题意有AB=154=60,MAB=30,AMB=45,在AMB中,由正弦定理得60sin45=BMsin30,得BM=302.1
9、1.4解析 由正弦定理可知a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,acos B+bcos A=csin C,sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin C,即sin(A+B)=sin2 C,A+B=-C,sin(A+B)=sin C=sin2C,又0C,sin C0,sin C=1,C=2,S=ab2=14(b2+c2-a2).b2+a2=c2,14(b2+c2-a2)=12b2=ab2,a=b,ABC为等腰直角三角形,B=4.12.解:由三角形的面积公式,得1231sin A=2,故sin A=223.因为sin2A+cos2A=1,所以cos A=1-
10、sin2A=1-89=13.当cos A=13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-21313=8,所以a=22;当cos A=-13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213-13=12,所以a=23.13.解:(1)因为cos B=45,B(0,180),所以sin B=35.由正弦定理asinA=bsinB,可得asin30=103,所以a=53.(2)因为ABC的面积S=12acsin B,sin B=35,所以310ac=3,则ac=10.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,得4=a2+c2-85ac=a2+c2-16
11、,即a2+c2=20.所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40,所以a+c=210.14.D解析 如图,记炮台顶为A、底为D,两船分别为B,C,ABD=45,ACD=30,BDC=30,AD=30,DB=30,DC=303,则BC2=DB2+DC2-2DBDCcos 30=900,BC=30.15.解:(1)由acos C+3asin C-b-c=0,得sin Acos C+3sin Asin C=sin B+sin C,即sin Acos C+3sin Asin C=sin(A+C)+sin C,得3sin A-cos A=1,即sinA-6=12,因为0A,所以A-6-6,56,所以A-6=6,得A=3.(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=332=2,则b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(2-cos 2B-cos 2C)=4-2cos 2B-2cos 223-B=4-cos 2B+3sin 2B=2sin2B-6+4.又0B2,023-B2,所以6B2,所以62B-656,则有12sin2B-62,故5b2+c26. 第 5 页
