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1、圆的方程 动画圆.gsp,圆的定义: 平面内与定点的距离等于 定长的点的集合(轨迹)是圆。定点就 是圆心,定长就是半径。,那么如何用数学语言来表达圆呢?,解决方法:找等式, 列方程。,例题:根据圆的定义,我们来求圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程。 根据定义,点M到圆心C的 距离等于r,所以圆C就是 集合 P=M| |MC|=r 由两点间的距离公式,点M适合条件可表示为,左右平方得圆的标准方程:,这就是以C(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程。 注意: 1,如果圆心是原点,则圆的标准方程是,2通过标准方程,我们可以很容易知道圆心和半径, 所以当知道圆心和半径可以用标准方程表达出来。
2、练一练,例题1,例题:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。,分析:所求的圆与直线相切,说明圆心到直线的距离等于半径。通过这个等式我们可以求出半径。再根据圆标准方程的写出所求圆的方程。,解: 已知圆心是c(1,3)那么只要求出圆的半径 r 就能写出圆的方程。,因为圆c和直线3x-4y-7=0相切,所以半径r等于圆心c 到这条直线的距离。根据点到直线的距离公式,得:,因此,所求的圆的方程是 练一练,例题2,例题:已知圆的方程是 求经过圆上一点M( , ) 的切线方程。,分析:通过圆的方程我们知道圆心(0,0),半径r,求圆上的切线方程,有三个等式,圆心到直线的距离等
3、于半径,M在切线上,圆心与M的连线垂直于切线。,一起来看看圆与直线的位置变化关系 圆与切线.gsp,这道题当切线斜率不存在的时候,切线的方程是,当切线斜率存在的时候,解: 设切线的斜率为k,半径OM的斜率为,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 k=,斜率为k,过M点的直线方程是:,化简得切线方程是:,又因为M 在圆上所以切线方程是:,当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用。,验证M在坐标轴上,是否满足切线方程。,斜率不存在的时候,即M在x轴上,M点的坐标为 ( ,0)把M点代入切线方程得:,所以切线方程对于斜率不存在的切线也是适用的。幻灯片 15,即:,又因为M在圆上,所以:,即,也
4、就是,例题3,某桥的桥孔是一个部分圆,该圆跨度 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需 用一 个支柱支撑。求 的长度(精确到0.01m)例题三.gsp,解:建立坐标系如图所示。圆心在y轴上。设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r。那么圆的方程是,下面用待定系数法确定b和r的值。 因为P,B都在圆上, 所以它们的坐标(0,4)(10,0)都是这个圆的方程的解。 于是得到方程组,解得,所以这个圆的方程是,把 点的横坐标 代入这个圆的方程,得,(因为 的纵坐标 ,所以方根取正值)。于是,答:支柱 的长度约为3.86m。幻灯片 15,练一练,1.写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是
5、3:答案 (2)圆心在点C(3,4),半径是 :答案 (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)。答案 2. 已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x+3y-70=0 相切,求圆的方程。答案,3. 写出过圆 上一点M(2, )的 切线的方程。答案 4 .已知圆的方程是 ,求: (1)斜率等于1的切线的方程答案 (2)在y轴上截距是 的切线的方程。答案,练一练2,1. (1) 圆心(0,0),r=3。 把这a=0,b=0,r=3代入圆的标准方程 得:,1、(2)由题意可得,a=3,b=4,r= 所以代入圆的标准方程得:,1、(3)解: 圆心已知是(8,-3),先求出半径再代入圆的标准方程。已知
6、圆上一点(5,1), r=5 a=8,b=-3,r=5,,2、由题意知圆心是(0,0),圆与直线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,因此,a=0,b=0,r=14,代入圆的标准方程得:,3、第一种方法:OM的斜率,切线的斜率k=,所以切线方程是:,化简后为:,第二种方法:由例2可知,所求切线方程可以用公式,所以切线方程是,4、(1)由题意设切线的方程是x-y=c,圆心到直线的距离是1,由点到直线的距离公式得:,所以我们得到c=,所以所求切线方程是,4、(2)解:设切线的方程为y=kx+ ,圆心到直线的距离是1.,所以切线的方程是,作业,习题7.6 1 (1)(2) 2 (1)(2) 4,谢谢合作!再见!,