《2018版高中数学人教B版必修二学案：1.1.2 第2课时 平面与平面垂直 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：1.1.2 第2课时 平面与平面垂直 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 课时课时 平面与平面垂直平面与平面垂直 学习目标 1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解 线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系. 知识链接 1.直线与平面垂直的判定定理 定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 推论 1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面； 推论 2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 2.直线与平面垂直的性质 定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直. 符号表示：Error!Error!ab. 预习导引 1.平面
2、与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条 交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. 要点一 平面与平面垂直判定定理的应用 例 1 如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上异于 A、B 的任意 一点，求证：平面 PAC平面 PBC. 证明 连接 AC，BC，则 BCAC，又 PA平面 ABC， PABC，而 PAACA，
3、BC平面 PAC， 又 BC平面 PBC， 平面 PAC平面 PBC. 规律方法 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证 线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直. 跟踪演练 1 如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上， 求证：平面 AEC平面 PDB. 证明 设 ACBDO，连接 OE， ACBD，ACPD，PD，BD 为平面 PDB 内两条相交直线， AC平面 PDB. 又AC平面 AEC， 平面 AEC平面 PDB. 要点二 面面垂直性质定理的应用 例 2 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那
4、么它们的交线垂直于第三个平面. 解 已知：，l. 求证：l. 方法一 在 内取一点 P，作 PA 垂直 与 的交线于 A，PB 垂直 与 的交线于 B， 则 PA，PB. l，lPA，lPB. 又 PAPBP，且 PA，PB， l. 方法二 在 内作直线 m 垂直于 与 的交线，在 内作直线 n 垂直于 与 的交线， ，m，n. mn.又 n，m. 又 m，l，ml.l. 规律方法 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下， 若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质. 跟踪演练 2 如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，平面 PAB平面 PBC.求证： B
5、CAB. 证明 在平面 PAB 内，作 ADPB 于 D. 平面 PAB平面 PBC， 且平面 PAB平面 PBCPB. AD平面 PBC. 又 BC平面 PBC，ADBC. 又PA平面 ABC，BC平面 ABC， PABC，又 PAADA，BC平面 PAB. 又 AB平面 PAB，BCAB. 要点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例 3 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，且DAB60， 侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面 PAD； (2)求证：ADPB. 证明 (1)在菱形
6、ABCD 中，G 为 AD 的中点，DAB60， BGAD. 又平面 PAD平面 ABCD, 平面 PAD平面 ABCDAD，BG平面 PAD. (2)连接 PG，如图， PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点，PGAD. 由(1)知 BGAD，PGBGG， AD平面 PGB，PB平面 PGB，ADPB. 规律方法 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面 垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质 定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点；(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一 个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线
7、. 跟踪演练 3 如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD90， ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD. 证明：PABD. 证明 如图，取 BC 的中点 O， 连接 PO、AO. PBPC. POBC，又侧面 PBC底面 ABCD，平面 PBC平面 ABCDBC，PO平面 PBC， PO底面 ABCD.BD平面 ABCD， POBD，在直角梯形 ABCD 中， 易证ABOBCD， BAOCBD， CBDABD90， BAOABD90 AOBD， 又 POAOO， BD平面 PAO，又 PA平面 PAO，BDPA. 1.若平面 平面 ，平面 平面 ，则( ) A
8、. B. C. 与 相交但不垂直 D.以上都有可能 答案 D 解析 以正方体为模型；相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面 和一对角面都与底面垂直，故选 D. 2.已知 l，则过 l 与 垂直的平面( ) A.有 1 个 B.有 2 个 C.有无数个 D.不存在 答案 C 解析 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面 ，这样的平面有无数个. 3.已知长方体 ABCDA1B1C1D1，在平面 AB1上任取一点 M，作 MEAB 于 E，则( ) A.ME平面 AC B.ME 平面 AC C.ME平面 AC D.以上都有可能 答案 A 解析 由于 ME平面 AB1，
9、平面 AB1平面 ACAB，且平面 AB1平面 AC，MEAB， 则 ME平面 AC. 4.如图，设 P 是正方形 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，则平面 PAB 与平面 PBC、平 面 PAD 的位置关系是( ) A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B.它们两两垂直 C.平面 PAB 与平面 PBC 垂直，与平面 PAD 不垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 答案 A 解析 PA平面 ABCD，PABC. 又 BCAB，PAABA， BC平面 PAB，BC平面 PBC， 平面 PBC平面 PAB. 由 ADPA，ADAB，PAABA， 得 AD平面 PAB. AD平面 PAD，平面 PAD平面 PAB. 由已知易得平面 PBC 与平面 PAD 不垂直，故选 A. 5.下列四个命题中，正确的序号有_. ，则 ； ，则 ； ，则 ； ，则 . 答案 解析 不正确，当 ， 时， 可以平行、相交或垂直. 1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了 数学中的化归转化思想，其转化关系如下： 2.运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作 交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
