《2018版高中数学人教B版必修五学案：第三单元 §3.2 均值不等式（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修五学案：第三单元 §3.2 均值不等式（二） （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问 题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题 知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：(a0，b0)，并说明什么时候等号成立 2 1 a 1 bab 梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件 当 a0，b0 时，有_ ； 2 1 a 1 bab ab 2 a2b2 2 当且仅当_时，以上三个等号同时成立 知识点二 用均值不等式求最值 思考 因为 x212x，当且仅当 x1 时取等号所以当 x1 时，(x21)min2. 以上说法对吗？为什么？ 梳理 均值不等式
2、求最值的条件： (1)x，y 必须是_； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为_；求和 xy 的最小值时，应看积 xy 是 否为_； (3)等号成立的条件是否满足 类型一 均值不等式与最值 例 1 (1)若 x0，求函数 yx 的最小值，并求此时 x 的值； 4 x (2)设 02，求 x的最小值； 4 x2 (4)已知 x0，y0，且 1，求 xy 的最小值 1 x 9 y 反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求 和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因 式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的
3、条件是否具备 跟踪训练 1 (1)已知 x0，求 f(x)3x 的最小值； 12 x (2)已知 x0，y0，且 2x8yxy，求 xy 的最小值 类型二 均值不等式在实际问题中的应用 命题角度 1 几何问题的最值 例 2 (1)用篱笆围一个面积为 100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短，最短的篱笆是多少？ (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？ 反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利 用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件
4、跟踪训练 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4 800 m3，深为 3 m，如果池底 每 1 m2的造价为 150 元，池壁每 1 m2的造价为 120 元，问怎样设计水池才能使总造价最低？ 最低总造价是多少？ 命题角度 2 生活中的最优化问题 例 3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元， 面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元求该厂多 少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 引申探究 若受车辆限制，该厂至少 15 天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能 使平
5、均每天所支付的费用最少？ 反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决 问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成 立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解 跟踪训练 3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于 2千米，那么这批货物全部运到 B 市，最 ( v 20) 快需要_小时 1设 a0，b0，且不等式 0 恒成立，则实数 k 的最小值等于( ) 1 a 1 b k ab A0 B4 C4 D2 2已知 x
6、，则 f(x)有( ) 5 2 x24x5 2x4 A最大值 B最小值 5 2 5 4 C最大值 1 D最小值 1 3将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度 的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 4已知 00)的 p x 单调性求得函数的最值 2求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 a0，b0， 20， 1 a 1 b 1 ab ， 1 1 a 1 b ab 2 即(a0，b0)， 2 1 a 1 b
7、ab 当且仅当 ，即 ab 时，等号成立 1 a 1 b 梳理 ab 知识点二 思考 错显然(x21)min1. x212x，当且仅当 x1 时取等号仅说明抛物线 yx21 恒在直线 y2x 上方，仅在 x1 时有公共点 使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值如果都不是定值，可能出错 梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究 类型一 例 1 解 (1)当 x0 时， x 2 4， 4 x x4 x 当且仅当 x ， 4 x 即 x24，x2 时取等号 函数 yx (x0)在 x2 时取得最小值 4. 4 x (2)00， 3 2 y4x(32x)22x(32x) 2 2 . 2x
8、32x 2 9 2 当且仅当 2x32x，即 x 时，等号成立 3 4 ， 3 4 (0， 3 2) 函数 y4x(32x)(02，x20， xx22 4 x2 4 x2 2 26， x2 4 x2 当且仅当 x2， 4 x2 即 x4 时，等号成立 x的最小值为 6. 4 x2 (4)方法一 x0，y0， 1， 1 x 9 y xy(xy) ( 1 x 9 y) 10 y x 9x y 61016， 当且仅当 ，又 1， y x 9x y 1 x 9 y 即 x4，y12 时，不等式取等号 故当 x4，y12 时，(xy)min16. 方法二 由 1， 1 x 9 y 得(x1)(y9)9(
9、定值) 由 1 可知 x1，y9， 1 x 9 y xy(x1)(y9)10 21016， x1y9 当且仅当 x1y93， 即 x4，y12 时不等式取等号， 故当 x4，y12 时，(xy)min16. 跟踪训练 1 解 (1)x0， f(x)3x212， 12 x 12 x 3x 当且仅当 3x，即 x2 时取等号， 12 x f(x)的最小值为 12. (2)x0，y0，x80，y， 2x x8 xyxx 2x x8 2x1616 x8 (x8)10 16 x8 2 1018. x8 16 x8 当且仅当 x8，即 x12 时，等号成立 16 x8 xy 的最小值是 18. 类型二 命
10、题角度 1 例 2 解 (1)设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m， 则 xy100，篱笆的长为 2(xy) m. 由，可得 xy2， xy 2xy100 2(xy)40. 当且仅当 xy10 时等号成立 所以这个矩形的长、宽都为 10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为 40 m. (2)设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为 xy m2. 由9，可得 xy81， xy xy 2 18 2 当且仅当 xy9 时，等号成立 所以这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 81 m2. 跟踪训练 2 解 设水池底面一边的长度为 x
11、 m，则另一边的长度为 m. 4 800 3x 又设水池总造价为 y 元，根据题意，得 y150120(23x23) 4 800 3 4 800 3x 240 000720( x1 600 x ) 240 0007202 x1 600 x 297 600(元)， 当且仅当 x，即 x40 时， 1 600 x y 取得最小值 297 600. 所以水池底面为正方形且边长为 40 m 时总造价最低，最低总造价为 297 600 元 命题角度 2 例 3 解 设该厂每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨 由题意可知，面粉的保管及其他费用为 36x6(x1)6(x2)619x(x1) 设平均
12、每天所支付的总费用为 y 元， 则 y 9x(x1)90061 800 1 x 9x10 809 900 x 2 10 80910 989(元)， 9x900 x 当且仅当 9x， 900 x 即 x10 时，等号成立 所以该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少 引申探究 解 设 x1，x215，)，且 x1x2. 则(9x110 809)(9x2 900 x1 900 x2 10 809) 9(x1x2)900() 1 x1 1 x2 (x1x2)( 9 900 x1x2) (x1x2). ( 9x1x2900 x1x2 ) 15x1x2， x1x20，x1x2225， (x1x2)0， ( 9x1x2900 x1x2 ) 即 y9x10 809 在15，)上为增函数 900 x 当 x15，即 15 天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少 跟踪训练 3 8 当堂训练 1C 2.D 3.C 4.22 5
