《2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.1.4 投影与直观图 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.1.4 投影与直观图 （12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.4 投影与直观图投影与直观图 学习目标 1.了解中心投影、平行投影的概念，会画几何体的投影.2.理解直观图的斜二测画 法规则，会画常见几何体的直观图 知识点一 平行投影 思考 太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边 的长度以及框边之间的夹角有所改变，你能观察出没有发生变化的是什么吗？ 梳理 平行投影的定义及性质 (1)定义：已知图形 F，直线 l 与平面 相交过 F 上任意一点 M 作直线 MM_于 l，交平面 于点 M，则点 M叫做点 M 在平面 内关于直线 l 的_(或象) 如果图形 F 上的所有点在平面 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F，则
2、 F叫做图形 F 在 内关于直线 l 的_ (2)平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： 直线或线段的平行投影仍是_或_ 平行直线的平行投影是_或_的直线 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段_且_ 与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形_ 在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比_这两条线段的比 知识点二 直观图与斜二测画法 思考 1 边长为 2 cm 的正方形 ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与 CD有何关系？AD与 BC呢？在原图与直观图中，AB 与 AB相等吗？AD 与 AD呢？ 思考 2 正方体 ABCDA1B1C1D
3、1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？ 梳理 直观图与斜二测画法 (1)直观图 用来表示空间图形的_ (2)斜二测画法的规则 在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的 Ox，Oy 轴，再作 Oz 轴，使 xOz_，且yOz_. 画直观图时，把 Ox，Oy，Oz 画成对应的轴 Ox，Oy，Oz，使 xOy_，xOz_，xOy所确定的平面表示水平平 面 已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 _、_或_的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中 相应线段和原坐标轴的位置关系_ 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中
4、_，平行于 y 轴的线段，长 度为_ 画图完成后，擦去作为辅助线的_，就得到了空间图形的直观图 知识点三 中心投影 思考 不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么 不同？灯泡照射物体形成的投影是平行投影吗？ 梳理 中心投影的概念 一个_把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投 影 类型一 平行投影与中心投影 例 1 (1)平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中 心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；几何体在平行投影与中心投 影下有不同的表现形式其中正确说法的个数为( ) A0 B1 C2
5、 D3 (2)如图所示，在正方体 ABCDABCD中，E，F 分别是 AA，CC 的中点，则下 列判断正确的是_(填序号) 四边形 BFDE 在底面 ABCD 内的投影是正方形； 四边形 BFDE 在面 ADDA 内的投影是菱形； 四边形 BFDE 在面 ADDA 内的投影与在面 ABBA内的投影是全等的平行四边 形 反思与感悟 常见图形的平行投影 图形图形的平行投影 点是一个点 线段是线段或一个点 线段的中点仍是这条线段投影的中点 直线是直线或一个点 平行直线是平行直线、一条直线或是两个点 跟踪训练 1 (1)已知ABC，选定的投影面与ABC 所在平面平行，则经过中心投影后所得 的ABC与A
6、BC 的关系是( ) A全等 B相似 C不相似 D以上都不对 (2)下列命题中，不正确的是( ) 正方形的平行投影一定是菱形； 平行四边形的平行投影可能是矩形； 锐角三角形的平行投影一定不是直角或钝角三角形 A B C D 类型二 直观图的画法 例 2 画出如图水平放置的直角梯形的直观图 引申探究 若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？ 反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便 (2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面 多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过 作平行于坐
7、标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面 直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可 跟踪训练 2 (1)用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图 (2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定) 类型三 直观图的还原与计算 命题角度1 由直观图还原平面图形 例 3 如图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图 形 反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键 (1)平行于 x轴的线段长度不变，平行于 y轴的线段扩大为原来的 2 倍 (2)对于相邻两边不与 x、y轴平行的顶点可通过作 x轴，y轴平行线变换确定其在 xOy
8、中的位置 跟踪训练 3 如图所示，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_ 命题角度2 原图形与直观图的面积的计算 例 4 如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图若 A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1 C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状， 2 3 并求出原图形的面积 反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的 高，在直观图中变为与水平直线成 45角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相 应的高 (2)若一个平面多边形的面积为 S，它的直观图面积为
9、 S，则 SS. 2 4 跟踪训练 4 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 ABO，若 OB1，那么原三角形 ABO 的面积是( ) A. B. 1 2 2 2 C. D2 22 1当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的 是( ) A直线或线段的平行投影仍是直线或线段 B平行直线的平行投影仍是平行的直线 C与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等 D在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 2已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正方形的面积为( ) A16 B64 C16 或
10、 64 D无法确定 3利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( ) 4.如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图是图中的ABC，已知 AC6，BC4，则 AB 边的实际长度是_ 5画出水平放置的四边形 OBCD(如图所示)的直观图 1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直 角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽 量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上 2用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜” 、 “二测”两点： (1)一斜：平面图形中互相垂直的 Ox、Oy 轴，在直观图中画成 Ox、Oy
11、轴，使 xOy45或 135. (2)二测：在直观图中平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变，纵 折半” 3中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观 性强，看起来与人的视觉效果一致若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影 后得到的图形与原图形相似 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 框边的平行性没有改变，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变 梳理 (1)平行 平行投影 平行投影 (2)直线 线段 平行 重合 平行 等长 全等 等于 知识点二 思考 1 ABCD，ADBC，ABAB，AD AD. 1 2
12、思考 2 没有都画成正方形 梳理 (1)平面图形 (2)90 90 45(或 135) 90 x轴 y轴 z轴 相同 保持长度不变 原来的 1 2 坐标轴 知识点三 思考 灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的；手电筒发出的光是一束平行光线不是 梳理 点光源 题型探究 例 1 D 由平行投影和中心投影的定义知，平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影 线相交于一点，故正确；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成 相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，故正确；几何体 在平行投影与中心投影下有不同的表现形式，故正确故选 D. (2) 解析 四边形 BFDE
13、 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是 B，C，D，A，所以投影 是正方形，即正确；设正方体的棱长为 2，则 AE1，取 DD 的中点 G，连接 AG，则 四边形 BFDE 在面 ADDA 内的投影是四边形 AGDE，由 AEDG，且 AEDG，知四边形 AGDE 是平行四边形，但 AE1，DE，所以四边形 AGDE 5 不是菱形，即不正确；对于，由可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形， 从而正确 跟踪训练 1 (1)B 根据题意画出图形如图 由图易得，则ABCABC. AB AB OB OB BC BC OC OC AC AC (2)B 正方形的平行投影可以是矩形或平行四边形或
14、菱形，故错；平行四边形的平行投影 可以是矩形、菱形、正方形，故正确；锐角三角形的平行投影可以是锐角三角形或直角三 角形或钝角三角形或线段，故错故选 B. 例 2 解 (1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画出相应的 x轴和 y轴，使xOy45，如 图(1)(2)所示 (2)在 x轴上截取 OBOB，在 y轴上截取 OD OD，过点 D作 x轴的平行 1 2 线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 DCDC.连接 BC，如图(2) (3)所得四边形 OBCD就是直角梯形 OBCD 的直观图，如图(3) 引申探究 解 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画 对应的坐标系 xOy，使xOy45. (2)以 O为中点在 x轴上取 ABAB，在 y 轴上取 OE OE， 1 2 以 E为中点画出 CDx轴，并使 CDCD. (3)连接 BC，DA，所得的四边形 ABCD就是水平放置的等腰梯
