《2018版高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.2.1 平面向量基本定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.2.1 平面向量基本定理 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一 组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量 的综合问题. 知识点一 平面向量基本定理 思考 1 如果 e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与 e1，e2在同一平面内的任一向量 a 能 否用 e1，e2表示？依据是什么？ 思考 2 如果 e1，e2是共线向量，那么向量 a 能否用 e1，e2表示？为什么？ 思考 3 若存在 1，2R，1，2R，且 a1e12e2，a1e12e2，那么 1，1，2，2有何关系？ 梳理 (1
2、)平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么该平面内的_向量 a，存在唯一 的一对实数 a1，a2，使 a_. (2)基底 把_向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫 做向量 a 关于基底e1，e2的分解式. 知识点二 直线的向量参数方程式 思考 1 什么是直线的向量参数方程？ 思考 2 直线的向量参数方程式有什么用途？ 梳理 (1)直线的向量参数方程式 已知 A、B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点(如图所示)，对直线 l 上_一点 P，存 在唯一的实数 t 满足向量等式_，反之，对每一个实数 t，在直线 l
3、上都有 OP _的一个点 P 与之对应.向量等式_叫做直线 l 的向量参数方程式，其中实 OP 数 t 叫做参变数，简称_. (2)线段中点的向量表达式 在向量等式(1t)t中，若 t ，则点 P 是 AB 的中点，且_，这是 OP OA OB 1 2 OP 线段 AB 的中点的向量表达式. 类型一 对基底概念的理解 例 1 如果 e1，e2是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) e1e2(，R)可以表示平面 内的所有向量； 对于平面 内任一向量 a，使 ae1e2的实数对(，)有无穷多个； 若向量 1e11e2与 2e12e2共线，则有且只有一个实数 ，使得 1e11e2
4、(2e12e2)； 若存在实数 ， 使得 e1e20，则 0. A. B. C. D. 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平 面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练 1 若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e1e2，e2e1 B.2e1e2，e1 e2 1 2 C.2e23e1,6e14e2 D.e1e2，e1e2 类型二 平面向量基本定理的应用 例 2 如图所示，在ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点，若a，b，试以 AB AD a，b
5、为基底表示，. DE BF 引申探究 若本例中其他条件不变，设a，b，试以 a，b 为基底表示，. DE BF AB AD 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性 运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基 底表示向量的唯一性求解. 跟踪训练 2 如图所示，在AOB 中，a，b，M，N 分别是边 OA，OB 上的点， OA OB 且 a， b，设与相交于点 P，用基底 a，b 表示. OM 1 3 ON 1 2 AN BM OP 1.下列关于基底的说法正确的是( ) 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基
6、底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A. B. C. D. 2.如图，已知 Aa，b，3，用 a，b 表示，则等于( ) B AC BD DC AD AD A.a b 3 4 B. a b 1 4 3 4 C. a b 1 4 1 4 D. a b 3 4 1 4 3.已知向量 e1，e2不共线，实数 x，y 满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则 x_，y_. 4.如图所示，在正方形 ABCD 中，设a，b，c，则当以 a，b 为基底时，可 AB AD BD AC 表示为_，当以 a，c 为基底时，可表示为_.
7、AC 5.已知在梯形 ABCD 中，ABDC，且 AB2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设a， AD b，试用 a、b 为基底表示， ，. AB DC BC EF 1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量 不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分 解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学
8、思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择 适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 能依据是数乘向量和平行四边形法则 思考 2 不一定，当 a 与 e1共线时可以表示，否则不能表示 思考 3 由已知得 1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2. e1与 e2不共线， 110，220，11，22. 梳理 (1)不平行 任一 a1e1a2e2 (2)不共线 知识点二 思考 1 若 P 在直线 AB 上(或 P、A、B 共线)，则一定存在实数 t，使得(1t)t. OP OA OB 思考 2 利用直线的向量参数方程可证明三
9、点共线 梳理 (1)任意 (1t)t OA OB 唯一 (1t)t 参数 OA OB (2) () 1 2 OA OB 题型探究 例 1 B 跟踪训练 1 D 例 2 解 四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点， 2，2， AD BC BE BA CD CF b， BE 1 2AD 1 2 a. CF 1 2BA 1 2AB 1 2 ba ba b， DE DA AB BE AD AB BE 1 2 1 2 b a. BF BC CF AD CF 1 2 引申探究 解 取 CF 的中点 G，连接 EG. E，G 分别为 BC，CF 的中点， b，a b. EG
10、1 2BF 1 2 DG DE EG 1 2 又， DG 3 4DC 3 4AB (a b) AB 4 3DG 4 3 1 2 a b. 4 3 2 3 又 AD BC BF FC ， BF 1 2DC BF 1 2AB b ( a b) AD BC 1 2 4 3 2 3 a b. 2 3 4 3 跟踪训练 2 a b. OP 1 5 2 5 当堂训练 1C 2.B 3.15 12 4.ab 2ac 5解 连接 FD，DCAB，AB2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，DC 綊 FB， 四边形 DCBF 为平行四边形 依题意， DC FB b， 1 2AB 1 2 BC FD AD AF a b， AD 1 2AB 1 2 EF DF DE FD DE BC 1 2DC b ba. (a 1 2b) 1 2 1 2 1 4
