《2018版高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.4.1 向量在几何中的应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.4.1 向量在几何中的应用 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.1 向量在几何中的应用向量在几何中的应用 学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向 量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力. 知识点一 向量在平面几何中的应用 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 的夹角为 . 思考 1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？ 思考 2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 思考 3 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 梳理 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0) _. (2)证明垂直问题，如
2、证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量 a，b，ab_. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式：cos _. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： |a|_. 知识点二 直线的方向向量和法向量 思考 若向量 a(a1，a2)平行于直线 l，则 a1，a2与直线 l 的斜率 k 有何关系？ 梳理 如果知道直线的斜率 k，则向量(a1，a2)一定与该直线_.这时向量(a1，a2)称 a2 a1 为这条直线的_向量. 如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的 _向量. 即直线 ykxb 的方向向量为
3、_，法向量为_；直线 AxByC0 的方 向向量为_，法向量为_. 类型一 用平面向量解决平面几何问题 例 1 已知在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、AD 的中点，BE、CF 交于点 P.求证：(1) BECF；(2)APAB. 反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤 选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把 几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系； 把几何问题向量化. 跟踪训练 1 如图，在正方形 ABCD 中，P 为对
4、角线 AC 上任一点，PEAB，PFBC，垂足 分别为 E，F，连接 DP，EF，求证：DPEF. 类型二 向量在解析几何中的应用 例 2 已知ABC 的三个顶点 A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点 D，E，F 分别为边 BC，CA，AB 的中点. (1)求直线 DE，EF，FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程. 反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则 进行运算. 跟踪训练 2 在ABC 中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A 的平分线所在的直线方程. 1.已知在ABC 中，若a，b，且 ab0，则AB
5、C 的形状为( ) AB AC A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 2.过点 A(2,3)，且垂直于向量 a(2,1)的直线方程为( ) A.2xy70 B.2xy70 C.x2y40 D.x2y40 3.在四边形 ABCD 中，若0，0，则四边形 ABCD 为( ) AD CB AC BD A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，3，2，则的 CP PD AP BP AB AD 值是_. 5.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两 点
6、M，N，若m，n，则 mn 的值为_. AB AM AC AN 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何 问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路 是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标. 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 可用向量共线的相关知识： ababx1y2x2y10(b0) 思考 2 可用向量垂直的相关知识： abab0x1x2y1y20. 思考 3 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关
7、系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系 梳理 (1)ab x1y2x2y10 (2)ab0 x1x2y1y20 (3) ab |a|b| x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 (4) x2y2 知识点二 思考 设 A(x1，y1)l，P(x，y)l，直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k. 向量 a 平行于 l， 由直线斜率和正切函数的定义， 可得 ktan . yy1 xx1 a2 a1 梳理 平行 方向 法 (1，k) (k，1) (B，A) (A，B) 题型探究 例 1 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB2，则 A(0,0)，B(2,0)，C(2
8、,2)，E(1,2)， F(0,1) (1)(1,2)，(2，1) BE CF (1)(2)2(1)0， BE CF ，即 BECF. BE CF (2)设点 P 的坐标为(x，y)， 则(x，y1)， FP (2,1)， FC FP FC x2(y1)，即 x2y2. 同理，由，得 y2x4. BP BE 由Error!Error!得Error!Error! 点 P 的坐标为( ， ) 6 5 8 5 | 2|， AP 6 52 8 5 2 AB 即 APAB. 跟踪训练 1 证明 设正方形 ABCD 的边长为 1，AEa(0a1)， 则 EPAEa，PFEB1a， APa， 2 ()()
9、DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP AP PF 1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45 22 aa2a(1a)0. ，即 DPEF. DP EF 例 2 解 (1)由已知得点 D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设 M(x，y)是直线 DE 上任意 一点，则. DM DE 又(x1，y1)， DM (2，2)， DE (2)(x1)(2)(y1)0， 即 xy20 为直线 DE 的方程 同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x5y80，xy0. (2)设点 N(x，y)是 CH 所在直线上任意一点，则，0. CN AB CN AB 又(x6，y2)，(4,4)， CN AB 4(x6)4(y2)0， 即 xy40 为所求直线 CH 的方程 跟踪训练 2 解 (3,4)， AB (8,6)， AC A 的平分线的一个方向向量为 a AB |AB | AC |AC | ( 3 5， 4 5) ( 4 5， 3 5) . ( 1 5， 7 5) 设 P(x，y)是角平分线上的任意一点， A 的平分线过点 A，a， AP 所求直线方程为 (x4) (y1)0. 7 5 1 5 整理得 7xy290. 当堂训练 1A 2.A 3.D 4.22 5.2
