《2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 2.4.2 空间两点的距离公式 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 2.4.2 空间两点的距离公式 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24.2 空间两点的距离公式空间两点的距离公式 学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离 公式求空间中两点间的距离 知识点 空间两点的距离 思考 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则其 对角线 AC1的长等于多少？ 梳理 空间两点的距离公式 (1)在空间直角坐标系 Oxyz 中，任意一点 A(x，y，z)到原点间 O 的距离公式为 d(O，A) |OA|. x2y2z2 (2)空间中 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式是 d(A，B)|AB| . x2x12y2y12z2z
2、12 类型一 求空间两点间的距离 例 1 如图，正方体 OABCDABC的棱长为 a，|AN|2|CN|，|BM|2|MC|，求 MN 的长 反思与感悟 在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中 并不能全部都适用如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空 间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用 跟踪训练 1 如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E 分别是棱 AB，B1C1的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度 类型二 空间两点的距离公式的应用 命题角度1 求空间点的
3、坐标 引申探究 1若本例中已知条件不变，问能否在 z 轴上找一点 P，使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三 角形？ 2若本例中“在 z 轴上”改为“在 y 轴上” ，其他条件不变，结论又如何？ 例 2 已知点 A(4,5,6)，B(5，0,10)，在 z 轴上有一点 P，使|PA|PB|，则点 P 的坐标为 _ 反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待 定系数法求解点的坐标 (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐 标的方程进行求解 跟踪训练 2 设点 P 在 x 轴上，使它到点 P1(0， ，3)的距离
4、是到点 P2(0,1，1)的距离的 2 2 倍，求点 P 的坐标 命题角度2 空间中距离的最值 例 3 已知正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上 移动，点 N 在 BF 上移动，若|CM|BN|a(0a ) 2 (1)求|MN|的长； (2)当 a 为何值时，|MN|最小 反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都 会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图 形的形状；(3)利用距离公式求最值 跟踪训练 3 如图所示，正方体棱长为 1，以正方体的同一顶
5、点上的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点 P 在正方体的体对角线 AB 上，点 Q 在正方体的棱 CD 上当点 P 为体对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，求|PQ|的最小值 1点 P(1， ，)到原点 O 的距离是( ) 23 A. B. C2 D. 653 2点 P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于 y 轴的对称点为 Q，则 PQ 的长为( ) A2 B5 52 C3 D2 23 3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCDABCD，AC 的中 点 E 与 AB 的中点 F 的距离为( ) A.a B.a 2 2
6、2 Ca D. a 1 2 4若 A(4，7,1)，B(6,2，z)，|AB|11，则 z_. 5求证：以 A(10，1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形 1空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任 意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想 2若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时， 应利用公式建立相应方程求解 答案精析答案精析 问题导学 知识点 思考 . a2b2c2 题型探究 例 1 解 建立如图所示空间直角坐标系， 过点 M 作 MF 垂直 BC 于 F，连接
7、 NF， 显然 MF 垂直平面 ABCO， 所以 MF 垂直 NF， 因为|BM|2|MC|. 所以|BF|2|FC|. 又|AN|2|CN|， 所以 NFAB， 所以|NF|FC| |AB| . 1 3 a 3 同理|MF| |CC|， 2 3 2a 3 因此，得点 N 的坐标为，点 M 的坐标为， ( a 3， 2a 3 ，0) ( a 3，a， 2a 3) 于是|MN| a. ( a 3 a 3)2( 2a 3 a)2(02a 3)2 5 3 跟踪训练 1 解 以点 C 为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系 |C1C|CB|CA
8、|2， C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得 D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， |DE| ， 1021120225 |EF|. 0121022026 例 2 (0,0,6) 解析 设 P(0,0，z)，由|PA|PB|，得 4025026z2 ， 50200210z2 解得 z6. 点 P 的坐标为(0,0,6) 引申探究 1解 与例 2 的结论一样，P(0,0,6) 2解 设 P(0，y,0)，由|PA|PB|，得 4025y2602 ， 5020y21002 解得 y. 24 5 点 P 的
9、坐标为(0，0) 24 5 跟踪训练 2 解 因为点 P 在 x 轴上，所以设点 P 坐标为(x,0,0) 因为|PP1|2|PP2|， 所以 x020 22032 2， x02012012 所以 x1，所以点 P 的坐标为(1,0,0)或(1,0,0) 例 3 解 平面 ABCD平面 ABEF， 平面 ABCD平面 ABEFAB，ABBE， BE平面 ABCD，AB、BC、BE 两两垂直 过点 M 作 MGAB，MHBC，垂足分别为 G、H，连接 NG，易证 NGAB. |CM|BN|a， |CH|MH|BG|GN|a， 2 2 以 B 为原点，以 BA、BE、BC 所在的直线为 x 轴、y
10、 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系 Bxyz， 则 M， ( 2 2 a，0，1 2 2 a) N. ( 2 2 a， 2 2 a，0) (1)|MN| ( 2 2 a 2 2 a)2(0 2 2 a)2 (1 2 2 a0)2 . a2 2a1 (a 2 2)2 1 2 (2)由(1)得，当 a时，|MN|最短，最短为，这时 M、N 恰好为 AC、BF 的中点 2 2 2 2 跟踪训练 3 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 P( ， ) 1 2 1 2 1 2 点 Q 在 CD 上， 设 Q(0,1，z)，z0,1， |PQ| ， 1 202 1 212 1 2z2 ， 1 2 1 2z2 当 z 时，|PQ|min. 1 2 2 2 当堂训练 1A 2.A 3.B 45 或 7 解析 |AB|11，(64)2(27)2(z1)2112，化简得(z1)236，即|z1|6， z5 或 z7. 5证明 根据空间两点间距离公式， 得|AB|7， 1042112692 |BC|7， 422142932 |AC|. 102214263298 因为|AB|2|BC|2|AC|2， 且|AB|BC|， 所以ABC 是等腰直角三角形
