《2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.7 柱、锥、台和球的体积柱、锥、台和球的体积 学习目标 1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台 和球的体积公式 知识点一 祖暅原理 思考 取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积 是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？ 梳理 祖暅原理的含义及应用 (1)内容：幂势既同，则积不容异 (2)含义：夹在_的两个几何体，被平行于这两个平面的_所 截，如果截得的_，那么这两个几何体的体积相等 (3)应用：_的两个柱体或锥体的体积相等 知识点二 柱、锥、台、球的体积公式 思考 已知直四棱柱 A1B1C1D1ABCD，
2、底面 ABCD 为矩形ABa，ADb，AA1c，则四 棱柱 A1B1C1D1ABCD 与三棱锥 A1ABCD 的体积分别为多少？ 梳理 柱、锥、台、球的体积公式 名称体积(V) 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 球 其中 S、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r和 r 分别表示上、下底面的半径，R 表示球的半径 类型一 柱体、锥体、台体的体积 例 1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A22 B42 33 C2 D4 2 3 3 2 3 3 反思与感悟 (1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用 公式求解 (2)求以
3、三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件 求解 跟踪训练 1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3. (2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰 梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积 类型二 球的体积 例 2 (1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器 口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的 体积为( ) A. cm3 500 3 B. cm3 866 3 C.
4、cm3 1 372 3 D. cm3 2 048 3 (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为 _ 反思与感悟 (1)求球的体积，关键是求球的半径 R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、 接点等 跟踪训练 2 (1)一平面截一球得到直径为 2 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 2 cm， 5 则该球的体积是( ) A12 cm3 B36 cm3 C64 cm3 D108 cm3 6 (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) Aa2 B. a2
5、7 3 C.a2 D5a2 11 3 类型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积法 例 3 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 ADED1的体积为_ 反思与感悟 (1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积 (2)利用等体积法可求点到平面的距离 跟踪训练 3 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，求点 A 到平面 A1BD 的距离 d. 命题角度2 割补法 例 4 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 4 的正方形， EFAB，EF2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的
6、距离均为 3，求该多面体的体积 反思与感悟 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分 割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积 跟踪训练 4 如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母 线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积 1.已知高为 3 的棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为 1 的正三角形(如图)，则三棱锥 B1ABC 的体积为( ) A. B. 1 4 1 2 C. D. 3 6 3 4 2一个球的表面积是 16，则它的体积是( ) A64 B. 64 3 C32 D. 32 3 3现有
7、一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中当铅锤从水中取出后，杯里的水将下 降( ) A0.6 cm B0.15 cm C1.2 cm D0.3 cm 4圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16，则圆锥的体积是( ) 2 A. B. 64 3 128 3 C64 D128 2 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_ 1计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运 用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题旋转体的轴截面是用 过旋转轴
8、的平面去截旋转体而得到的截面例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等 腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面 2在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、 台、球的体积计算问题 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平 截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 梳理 (2)两个平行平面间 任意平面 两个截面的面积总相等 (3)等底面积、等高 知识点二 思考 abc， 1 11 A B C DABCD V abc. 1 AABCD V 1 3 梳理
9、VSh Vr2h V Sh 1 3 V r2h 1 3 V h(S S) 1 3SS V h(r2rrr2) V R3 1 3 4 3 题型探究 例 1 C 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱底面半径为 1，高为 2，体积为 2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为 ()2，所以该几何体的体积 23 1 323 2 3 3 为 2. 2 3 3 跟踪训练 1 (1) 20 3 解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为 4 m，高为 2 m 的圆锥，下部是一个 底面直径为 2 m，高为 4 m 的圆柱 故该几何体的体积 V 222124(m3) 1 3 20 3 (2)解 如图，
10、在三棱台 ABCABC中，取上、下底面的中心分别为 O，O，BC，BC的中点分别为 D，D，则 DD是梯形 BCCB的高 所以 S侧3 (2030)DD75DD. 1 2 又因为 AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为 S上S下(202302)325(cm2) 3 43 由 S侧S上S下，得 75DD325， 3 所以 DD(cm)，OD20(cm)， 13 3 3 3 6 10 3 3 OD305(cm)， 3 63 所以棱台的高 hOO DD2ODOD2 13 3 3 25 310 3 3 2 4(cm) 3 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V (S上S下)(20230
11、22030) h 3S上S下 4 3 3 3 4 3 4 3 4 1 900(cm3) 例 2 (1)A 作出该球轴的截面如图所示， 依题意 BE2，AECE4，设 DEx，故 AD2x，因为 AD2AE2DE2，解得 x3， 故该球的半径 AD5， 所以 V R3 4 3 (cm3) 500 3 (2)a3 6 解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为a， 2a2a2a26 得球的半径为a，V (a)3a3. 6 2 4 3 6 26 跟踪训练 2 (1)B 设球心为 O，截面圆心为 O1，连接 OO1，则 OO1垂直于截面圆 O1，如 图所示 在 RtOO1A 中，O1
12、A cm， 5 OO12 cm， 球的半径 ROA 22 52 3(cm)， 球的体积 V 3336(cm3) 4 3 (2)B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.如图，P 为三棱柱 上底面的中心，O 为球心， 易知 AP aa，OP a，所以球的半径 R 满足 R2OA2(a)2( a)2a2，故 2 3 3 2 3 3 1 2 3 3 1 2 7 12 S球4R2 a2. 7 3 例 3 1 6 解析 11 ADEDEDD A VV 三棱锥三棱锥 111 . 1 3 1 2 1 6 跟踪训练 3 解 在三棱锥 A1ABD 中，AA1平面 ABD，ABADAA1a
13、， A1BBDA1Da， 2 11 AABDAA BD VV a2a aad， 1 3 1 2 1 3 1 22 3 22 da. 3 3 例 4 解 如图，连接 EB，EC. 四棱锥 EABCD 的体积 V四棱锥 EABCD 42316. 1 3 AB2EF， EFAB， SEAB2SBEF， V三棱锥 FEBCV三棱锥 CEFB V三棱锥 CABE V三棱锥 EABC 1 2 1 2 V四棱锥 EABCD4. 1 2 1 2 多面体的体积 VV四棱锥 EABCDV三棱锥 FEBC16420. 跟踪训练 4 解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体 积为 22520，故所求几何体的体积为 10. 当堂训练 1D 2.D 3.A 4.A 51616 解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为 2，高 为 4，故体积为 16；正四棱柱底面边长为 2，高为 4，故体积为 16，故题中几何体的体积为 1616.
